Graphique fermé - Closed graph

En mathématiques , en particulier en analyse fonctionnelle et en topologie , le graphe fermé est une propriété des fonctions . Une fonction f  : X → Y entre espaces topologiques a un graphe fermé si son graphe est un sous-ensemble fermé de l' espace produit X ×  Y . Une propriété connexe est le graphe ouvert .

Cette propriété est étudiée car il existe de nombreux théorèmes, appelés théorèmes des graphes fermés , donnant des conditions sous lesquelles une fonction à graphe fermé est nécessairement continue . Une classe particulièrement bien connue de théorèmes de graphes fermés sont les théorèmes de graphes fermés en analyse fonctionnelle .

Définitions

Graphiques et multifonctions

Définition et notation : Le graphe d'une fonction f  : X → Y est l'ensemble

Gr f  : = {( x , f ( x )): x ∈ X  } = {( x , y ) ∈ X ×  Y  : y = f ( x )} .

Notation : Si Y est un ensemble, alors l' ensemble de puissance de Y , qui est l'ensemble de tous les sous-ensembles de Y , est noté 2 ^Y ou 𝒫( Y ) .

Définition : Si X et Y sont des ensembles alors une multifonction à valeur Y sur X , également appelée fonction à valeur définie dans Y sur X , est une fonction F  : X → 2 ^Y avec le domaine X qui est évalué dans 2 ^Y . C'est-à-dire que F est une fonction sur X telle que pour tout x ∈ X , F ( x ) est un sous-ensemble de Y .

• Certains auteurs appellent une fonction F  : X → 2 ^Y une multifonction uniquement si elle satisfait à la condition supplémentaire que F ( x ) ne soit pas vide pour tout x ∈ X ; cet article ne l'exige pas.

Définition et notation : Si F  : X → 2 ^Y est une multifonction dans un ensemble Y alors le graphe de F est l'ensemble

Gr F  : = {( x , y ) ∈ X ×  Y  : y ∈ F ( x )} .

Définition : Une fonction f  : X → Y peut être identifiée canoniquement avec la multifonction F  : X → 2 ^Y définie par F ( x ) := { f ( x ) } pour tout x ∈ X , où F est appelé la multifonction canonique induite par (ou associé à) f .

• Notez que dans ce cas, Gr f = Gr F .

Graphique ouvert et fermé

Nous donnons la définition plus générale du moment où une fonction ou multifonction à valeur Y définie sur un sous - ensemble S de X a un graphe fermé puisque cette généralité est nécessaire dans l'étude des opérateurs linéaires fermés définis sur un sous-espace dense S d'un vecteur topologique espace X (et pas nécessairement défini sur tout X ). Ce cas particulier est l'une des principales raisons pour lesquelles les fonctions à graphes fermés sont étudiées en analyse fonctionnelle .

Hypothèses : Tout au long, X et Y sont des espaces topologiques , S ⊆ X , et f est un Y fonction à valeurs ou multifonction sur S (ie f  : S → Y ou f  : S → 2 ^Y ). X ×  Y sera toujours doté de la topologie du produit .

Définition : On dit que f   a une courbe fermée (. Resp graphe ouvert , séquentiellement graphe fermé , de manière séquentielle graphique ouvert ) dans X ×  Y si le graphe de f , Gr f , est fermée . (Resp ouvert , successivement fermé , de manière séquentielle ouverte ) sous-ensemble de X ×  Y lorsque X ×  Y est doté de la topologie du produit . Si S = X ou si X est clair du contexte alors on peut omettre d'écrire "en X ×  Y "

Observation : Si g  : S → Y est une fonction et G est le multifonction canonique induite par g   (ie G  : S → 2 ^Y est définie par G ( s ): = { g ( s )} pour chaque s ∈ S ) , puis puisque Gr g = Gr G , g a un graphe fermé (resp. séquentiellement fermé, ouvert, séquentiellement ouvert) en X ×  Y si et seulement si la même chose est vraie de G .

Cartes et fermetures fermables

Définition : On dit que la fonction (resp. multifonction) f est fermable en X ×  Y s'il existe un sous-ensemble D ⊆ X contenant S et une fonction (resp. multifonction) F  : D → Y dont le graphe est égal à la fermeture de l'ensemble Gr f dans X ×  Y . Un tel F est appelé clôture de f dans X ×  Y , est noté f , et prolonge nécessairement f .

• Hypothèses supplémentaires pour les applications linéaires : Si en plus, S , X , et Y sont des espaces vectoriels topologiques et f  : S → Y est une application linéaire, alors pour appeler f closable, nous exigeons également que l'ensemble D soit un sous-espace vectoriel de X et le fermeture de f être une application linéaire.

Définition : si f est obturable sur S puis un noyau ou domaine essentiel de f est un sous - ensemble D ⊆ S de telle sorte que la fermeture en X ×  Y du graphique de la restriction f  | _D  : D → Y de f à D est égal à la fermeture du graphe de f dans X ×  Y (ie la fermeture de Gr f dans X ×  Y est égale à la fermeture de Gr f  | _D dans X ×  Y ).

Cartes fermées et opérateurs linéaires fermés

Définition et notation : Lorsque nous écrivons f  : D ( f ) X → Y alors nous voulons dire que f est une fonction à valeurs Y de domaine D ( f ) où D ( f ) X . Si nous disons que f  : D ( f ) ⊆ X → Y est fermé (resp. séquentiellement fermé ) ou a un graphe fermé (resp. a un graphe séquentiellement fermé ) alors nous voulons dire que le graphe de f est fermé (resp. séquentiellement fermé) dans X ×  Y (plutôt que dans D ( f ) ×  Y ).

Lors de la lecture de la littérature en analyse fonctionnelle , si f  : X → Y est une application linéaire entre les espaces vectoriels topologiques (TVS) (par exemple les espaces de Banach ) alors " f est fermé " signifiera presque toujours ce qui suit :

Définition : Une application f  : X → Y est dite fermée si son graphe est fermé en X ×  Y . En particulier, le terme « opérateur linéaire fermé » fera presque certainement référence à une application linéaire dont le graphe est fermé.

Sinon, en particulier dans la littérature sur la topologie des ensembles de points , " f est fermé " peut à la place signifier ce qui suit :

Définition : Une application f  : X → Y entre des espaces topologiques est appelée une application fermée si l'image d'un sous-ensemble fermé de X est un sous-ensemble fermé de Y .

Ces deux définitions de « carte fermée » ne sont pas équivalentes. Si ce n'est pas clair, il est alors recommandé au lecteur de vérifier comment la "carte fermée" est définie par la littérature qu'il lit.

Caractérisations

Dans l'ensemble, soit X et Y des espaces topologiques.

Fonction avec un graphe fermé

Si f  : X → Y est une fonction alors les éléments suivants sont équivalents :

1. f   a un graphe fermé (en X ×  Y );
2. (définition) le graphe de f , Gr f , est un sous-ensemble fermé de X ×  Y ;
3. pour chaque x ∈ X et net x _• = ( x _i ) _{i ∈ I} en X de telle sorte que x _• → x dans X , si y ∈ Y est tel que le net f ( x _• ) = ( f ( x _i ) ) _{i ∈ I} → y dans Y alors y = f ( x ) ;
   • Comparez cela à la définition de la continuité en termes de filets, qui rappel est le suivant: pour chaque x ∈ X et net x _• = ( x _i ) _{i ∈ I} dans X tel que x _• → x dans X , f ( x _• ) → f ( x ) dans Y .
   • Ainsi , pour montrer que la fonction f a un graphe fermé , nous pouvons supposer que f ( x _• ) converge vers Y à certains y ∈ Y (et montrer que y = f ( x ) ) alors montrer que f est continue nous pouvons ne pas supposons que f ( x _• ) converge dans Y vers un certain y ∈ Y et nous devons plutôt prouver que cela est vrai (et de plus, nous devons plus spécifiquement prouver que f ( x _• ) converge vers f ( x ) dans Y ).

et si Y est un espace compact de Hausdorff alors on peut ajouter à cette liste :

4. f   est continue ;

et si X et Y sont tous deux des espaces dénombrables en premier, nous pouvons ajouter à cette liste :

5. f   a un graphe séquentiellement fermé (en X ×  Y );

Fonction avec un graphe fermé séquentiellement

Si f  : X → Y est une fonction alors les éléments suivants sont équivalents :

1. f   a un graphe séquentiellement fermé (en X ×  Y );
2. (définition) le graphe de f est un sous-ensemble séquentiellement fermé de X ×  Y ;
3. pour tout x ∈ X et séquence x _• = ( x _i )^∞
   _{i = 1}dans X tel que x _• → x dans X , si y ∈ Y est tel que le réseau f ( x _• ) := ( f ( x _i ))^∞
   _{i = 1}→ y dans Y alors y = f ( x ) ;

Multifonction avec un graphique fermé

Si F  : X → 2 ^Y est une fonction ensembliste entre les espaces topologiques X et Y alors les éléments suivants sont équivalents :

1. F   a un graphe fermé (en X ×  Y );
2. (définition) le graphe de F est un sous-ensemble fermé de X ×  Y ;

et si Y est compact et Hausdorff alors on peut ajouter à cette liste :

3. F est hemicontinuous supérieure et F ( x ) est une partie fermée de Y pour tout x ∈ X ;

et si X et Y sont tous deux des espaces métrisables, nous pouvons ajouter à cette liste :

4. pour tout x ∈ X , y ∈ Y , et les suites x _• = ( x _i )^∞
   _{i = 1}en X et y _• = ( y _i )^∞
   _{i = 1}en Y de telle sorte que x _• → x dans X et Y _• → y dans Y , et y _i ∈ F ( x _i ) pour tout i , puis y ∈ F ( x ) .

Conditions suffisantes pour un graphe fermé

• Si f  : X → Y est une fonction continue entre espaces topologiques et si Y est Hausdorff alors f   a un graphe fermé en X ×  Y .
  • Notez que si f  : X → Y est une fonction entre les espaces topologiques de Hausdorff alors il est possible que f   ait un graphe fermé en X ×  Y mais pas continu.

Théorèmes des graphes fermés : quand un graphe fermé implique une continuité

Les conditions qui garantissent qu'une fonction avec un graphe fermé est nécessairement continue sont appelées théorèmes de graphe fermé . Les théorèmes de graphes fermés sont particulièrement intéressants en analyse fonctionnelle où il existe de nombreux théorèmes donnant des conditions sous lesquelles une application linéaire avec un graphe fermé est nécessairement continue.

• Si f  : X → Y est une fonction entre des espaces topologiques dont le graphe est fermé en X ×  Y et si Y est un espace compact alors f  : X → Y est continu.

Exemples

Cartes continues mais pas fermées

• Soit X les nombres réels ℝ avec la topologie euclidienne habituelle et Y notons ℝ avec la topologie indiscrète (où notons que Y n'est pas Hausdorff et que toute fonction valorisée dans Y est continue). Soit f  : X → Y défini par f (0) = 1 et f ( x ) = 0 pour tout x ≠ 0 . Alors f  : X → Y est continue mais son graphe n'est pas fermé en X ×  Y .
• Si X est un espace alors l'application d'identité Id : X → X est continue mais son graphe, qui est la diagonale Gr Id := { ( x , x ) : x ∈ X  } , est fermé en X × X si et seulement si X est Hausdorff. En particulier, si X n'est pas Hausdorff alors Id : X → X est continu mais non fermé.
• Si f  : X → Y est une application continue dont le graphe n'est pas fermé alors Y n'est pas un espace de Hausdorff.

Cartes fermées mais pas continues

• Soit X et Y tous les deux les nombres réels ℝ avec la topologie euclidienne habituelle . Soit f  : X → Y défini par f (0) = 0 et f ( x ) = 1/Xpour tout x 0 . Alors f  : X → Y a un graphe fermé (et un graphe séquentiellement fermé) en X ×  Y = ℝ ² mais il n'est pas continu (puisqu'il a une discontinuité en x = 0 ).
• Laissez X représentent les nombres réels ℝ avec l'habituel topologie euclidienne , laissez - Y représentent chacun ℝ avec la topologie discrète , et laisser Id: X → Y être la carte d'identité (c. -à- Id ( x ): = x pour chaque x ∈ X ). Alors Id : X → Y est une application linéaire dont le graphe est fermé en X ×  Y mais il n'est clairement pas continu (puisque les ensembles de singletons sont ouverts en Y mais pas en X ).
• Soit ( X , 𝜏) une TVS de Hausdorff et soit 𝜐 une topologie vectorielle sur X strictement plus fine que 𝜏 . Alors l'application identité Id : ( X , 𝜏) → ( X , 𝜐) un opérateur linéaire discontinu fermé.

Opérateurs linéaires fermés

Tout opérateur linéaire continu valorisé dans un espace vectoriel topologique de Hausdorff (TVS) a un graphe fermé et rappelle qu'un opérateur linéaire entre deux espaces normés est continu si et seulement s'il est borné .

Définition : Si X et Y sont des espaces vectoriels topologiques (TVS) alors on appelle une application linéaire f  : D ( f ) ⊆ X → Y un opérateur linéaire fermé si son graphe est fermé en X ×  Y .

Théorème du graphe fermé

Le théorème du graphe fermé stipule que tout opérateur linéaire fermé f  : X → Y entre deux F-espaces (comme les espaces de Banach ) est continu, où rappelons que si X et Y sont des espaces de Banach alors f  : X → Y étant continu est équivalent à f étant borné.

Propriétés de base

Les propriétés suivantes sont facilement vérifiées pour un opérateur linéaire f  : D ( f ) ⊆ X → Y entre les espaces de Banach :

• Si A est fermé alors A - λ Id _{D ( f )} est fermée dans laquelle λ est un scalaire et Id _{D ( f )} est la fonction identité ;
• Si f est fermé, alors son noyau (ou espace nul) est un sous-espace vectoriel fermé de X ;
• Si f est fermé et injectif alors son inverse f  ^-1 est également fermé ;
• Un opérateur linéaire f admet une fermeture si et seulement si pour tout x ∈ X et tout couple de séquences x _• = ( x _i )^∞
  _{i = 1}et y _• = ( y _i )^∞
  _{i = 1}dans D ( f ) tous deux convergent vers x dans X , tels que les deux f ( x _• ) = ( f ( x _i ))^∞
  _{i = 1}et f ( y _• ) = ( f ( y _i ))^∞
  _{i = 1}convergent en Y , on a lim _{i → ∞} fx _i = lim _{i → ∞} fy _i .

Exemple

Considérons l' opérateur dérivé A =ré/dxoù X = Y = C ([ a , b ]) est l'espace de Banach de toutes les fonctions continues sur un intervalle [ a , b ] . Si on prend son domaine D ( f ) pour C ¹ ([ a , b ]) , alors f est un opérateur fermé, qui n'est pas borné. Par contre si D ( f ) = C ^∞ ([ a , b ]) , alors f ne sera plus fermé, mais il sera fermable, la fermeture étant son extension définie sur C ¹ ([ a , b ] ) .

Voir également

• Carte linéaire presque ouverte
• Théorème des graphes fermés  – Théorème reliant la continuité aux graphes
• Théorème des graphes fermés (analyse fonctionnelle)  – Théorèmes pour déduire la continuité
• Théorème du point fixe de Kakutani  – On quand une fonction f : S→Pow(S) sur un sous-ensemble convexe compact non vide S⊂ℝⁿ a un point fixe
• Théorème de mappage ouvert (analyse fonctionnelle)  - Condition pour qu'un opérateur linéaire soit ouvert
• Espace palmé  - Espaces où tiennent les théorèmes de la cartographie ouverte et des graphes fermés

Les références

• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Espaces vectoriels topologiques I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 159 . Traduit par Garling, DJH New York : Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498 . OCLC  840293704 .
• Kriegl, Andréas ; Michor, Peter W. (1997). Le cadre pratique de l'analyse globale (PDF) . Enquêtes mathématiques et monographies. 53 . Providence, RI : Société mathématique américaine . ISBN 978-0-8218-0780-4. OCLC  37141279 .
• Munkres, James R. (2000). Topologie (Deuxième éd.). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260 .
• Narici, Laurent ; Beckenstein, Edouard (2011). Espaces vectoriels topologiques . Mathématiques pures et appliquées (deuxième éd.). Boca Raton, Floride : CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Espaces vectoriels topologiques . Cambridge Tracts en mathématiques . 53 . Cambridge Angleterre : Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250 .
• Rudin, Walter (1991). Analyse fonctionnelle . Série Internationale de Mathématiques Pures et Appliquées. 8 (Deuxième éd.). New York, NY : McGraw-Hill Science/Ingénierie/Maths . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espaces vectoriels topologiques . GTM . 8 (Deuxième éd.). New York, NY : Springer New York Mentions légales Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Swartz, Charles (1992). Introduction à l'analyse fonctionnelle . New York : M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067 .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espaces vectoriels topologiques, distributions et noyaux . Mineola, NY : Publications de Douvres. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Wilansky, Albert (2013). Méthodes modernes dans les espaces vectoriels topologiques . Mineola, New York : Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .