Théorème des graphes fermés (analyse fonctionnelle) - Closed graph theorem (functional analysis)

En mathématiques, en particulier en analyse fonctionnelle et en topologie , le théorème du graphe fermé est un résultat fondamental affirmant qu'un opérateur linéaire avec un graphe fermé sera, sous certaines conditions, continu . Le résultat original a été généralisé plusieurs fois, il existe donc maintenant de nombreux théorèmes appelés "théorèmes des graphes fermés".

Définitions

Graphiques et graphiques fermés

Le graphe d'une fonction est l'ensemble ${\style d'affichage f:X\à Y}$

$${\displaystyle \operatorname {Gr} f:=\{(x,f(x)):x\in X\}=\{(x,y)\in X\times Y:y=f(x)\ }.}$$

Comme d'habitude, si et sont des espaces topologiques alors est supposé être doté de la topologie produit . ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage X\fois Y}$

Si et sont des espaces topologiques , et est une fonction, alors a un graphe fermé (resp. graphe fermé séquentiellement ) dans si le graphe de est un sous-ensemble fermé (resp. fermé séquentiellement ) de Si ou si est clair du contexte alors "dans " peut être omis de l'écriture. ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$${\displaystyle D\subseteq X,}$${\displaystyle f:D\to Y}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage X\fois Y}$${\style d'affichage f,}$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} f,}$${\style d'affichage X\fois Y.}$${\style d'affichage D=X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X\fois Y}$

Opérateurs linéaires

Une carte partielle , notée f  : X ↣ Y , si une carte à partir d' un sous - ensemble de désigné par dom f , en Si est écrit ensuite , on entend que f  : X ↣ Y est une carte partielle et dom f = D . ${\style d'affichage X,}$${\style d'affichage Y.}$${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y}$

Une carte est fermée (resp. séquentiellement fermée ) ou a un graphe fermé (resp. a un graphe séquentiellement fermé ) si le graphe de est fermé (resp. séquentiellement fermé) dans (plutôt que dans ). ${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage X\fois Y}$${\displaystyle D\fois Y}$

Une carte est un opérateur linéaire ou linéaire si et sont des espaces vectoriels , est un sous-espace vectoriel de est une carte linéaire . ${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$${\displaystyle D\subseteq X}$${\style d'affichage X,}$ ${\displaystyle f:D\to Y}$

Opérateurs linéaires fermés

Supposons que et soient des espaces vectoriels topologiques (TVS). ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$

Un opérateur linéaire est dit fermé ou un opérateur linéaire fermé si son graphe est fermé en${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y}$${\style d'affichage X\fois Y.}$

Cartes et fermetures fermables

Un opérateur linéaire est fermable dans s'il existe un sous-espace vectoriel contenant et une fonction (resp. multifonction) dont le graphe est égal à la fermeture de l'ensemble dans Tel un est appelé fermeture de dans , est noté et s'étend nécessairement${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y}$${\style d'affichage X\fois Y}$ ${\displaystyle E\subseteq X}$${\style d'affichage D}$${\style d'affichage F:E\à Y}$${\displaystyle \operatorname {Gr} f}$${\style d'affichage X\fois Y.}$${\style d'affichage F}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage X\fois Y}$${\displaystyle {\overline {f}},}$${\style d'affichage f.}$

Si est un opérateur linéaire fermable alors un noyau ou un domaine essentiel de est un sous-ensemble tel que la clôture de in du graphe de la restriction de to est égale à la clôture du graphe de in (c'est-à-dire que la clôture de in est égale à la fermeture de dans ). ${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y}$${\style d'affichage f}$${\displaystyle C\subseteq D}$${\style d'affichage X\fois Y}$${\displaystyle f{\big \vert }_{C}:C\to Y}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage C}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage X\fois Y}$${\displaystyle \operatorname {Gr} f}$${\style d'affichage X\fois Y}$${\displaystyle \operatorname {Gr} f{\big \vert }_{C}}$${\style d'affichage X\fois Y}$

Cartes fermées vs opérateurs linéaires fermés

Lors de la lecture de la littérature en analyse fonctionnelle , si est une carte linéaire entre les espaces vectoriels topologiques (TVS), alors " est fermé " signifiera presque toujours que son graphe est fermé. Cependant, « est fermé » peut, en particulier dans la littérature sur la topologie des ensembles de points , signifie à la place ce qui suit : ${\style d'affichage f:X\à Y}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage f}$

Une carte entre des espaces topologiques est appelée carte fermée si l'image d'un sous-ensemble fermé de est un sous-ensemble fermé de${\style d'affichage f:X\à Y}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y.}$

Ces deux définitions de "carte fermée" ne sont pas équivalentes. Si ce n'est pas clair, il est alors recommandé au lecteur de vérifier comment la « carte fermée » est définie par la littérature qu'il lit.

Caractérisations de graphes fermés (topologie générale)

Partout, laissez et soyez des espaces topologiques et est doté de la topologie du produit. ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage X\fois Y}$

Fonction avec un graphe fermé

Si est une fonction, on dit qu'elle a un graphe fermé si elle satisfait à l'une des conditions équivalentes suivantes : ${\style d'affichage f:X\à Y}$

1. (Définition) : Le graphe de est un sous-ensemble fermé de${\displaystyle \operatorname {Gr} f}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage X\fois Y.}$
2. Pour tout et net dans tel que dans si est tel que le net dans alors${\style d'affichage x\dans X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\style d'affichage X,}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}}$${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage y=f(x).}$
   • Comparez ceci à la définition de la continuité en termes de filets, dont le rappel est le suivant : pour tout et net dans tel que dans dans${\style d'affichage x\dans X}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\style d'affichage X,}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$${\style d'affichage Y.}$
   • Ainsi, pour montrer que la fonction a un graphe fermé, on
   peut supposer que converge vers certains (et ensuite montrer que ) tandis que pour montrer qu'elle est continue, on ne peut pas supposer que converge vers certains et à la place, il doit être prouvé que cela est vrai (et d'ailleurs, il faut plus précisément prouver que converge vers dans ).${\style d'affichage f}$${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)}$${\style d'affichage Y}$${\displaystyle y\in Y}$${\style d'affichage y=f(x)}$${\style d'affichage f}$${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)}$${\style d'affichage Y}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)}$${\style d'affichage f(x)}$${\style d'affichage Y}$

et si est un espace compact de Hausdorff alors nous pouvons ajouter à cette liste : ${\style d'affichage Y}$

3. ${\style d'affichage f}$ est continue.

et si les deux et sont d' abord des espaces dénombrables , nous pouvons ajouter à cette liste : ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$

4. ${\style d'affichage f}$ a un graphe séquentiellement fermé dans ${\style d'affichage X\fois Y.}$

Fonction avec un graphe fermé séquentiellement

Si est une fonction, alors les éléments suivants sont équivalents : ${\style d'affichage f:X\à Y}$

1. ${\style d'affichage f}$ a un graphe séquentiellement fermé dans ${\style d'affichage X\fois Y.}$
2. Définition : le graphe de est un sous-ensemble séquentiellement fermé de${\style d'affichage f}$${\style d'affichage X\fois Y.}$
3. Pour chaque et séquence dans tel que dans si est tel que le réseau dans alors${\style d'affichage x\dans X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\style d'affichage X,}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right):=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }\to y}$${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage y=f(x).}$

Propriétés de base des cartes avec des graphiques fermés

Supposons un opérateur linéaire entre les espaces de Banach . ${\displaystyle f:D(f)\subseteq X\to Y}$

• Si est fermé alors est fermé où est un scalaire et est la fonction d'identité .${\style d'affichage A}$${\displaystyle As\operatorname {Id} _{D(f)}}$${\style d'affichage s}$${\displaystyle \operatorname {Id} _{D(f)}}$
• Si est fermé, alors son noyau (ou espace nul) est un sous-espace vectoriel fermé de${\style d'affichage f}$${\style d'affichage X.}$
• Si est fermé et injectif alors son inverse est également fermé.${\style d'affichage f}$ ${\style d'affichage f^{-1}}$
• Un opérateur linéaire admet une fermeture si et seulement si pour chaque paire de séquences et dans les deux convergent vers in tel que les deux et convergent en un a${\style d'affichage f}$${\style d'affichage x\dans X}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle z_{\bullet }=\left(z_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\style d'affichage D(f)}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage X,}$${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle f\left(z_{\bullet }\right)=\left(f\left(z_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$${\style d'affichage Y,}$${\displaystyle \lim _{i\to \infty }f\left(x_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }f\left(z_{i}\right).}$

Exemples et contre-exemples

Cartes continues mais pas fermées

• Notons les nombres réels avec la topologie euclidienne habituelle et notons avec la topologie indiscrète (où n'est pas Hausdorff et que toute fonction valorisée dans est continue). Soit défini par et pour tout Alors est continue mais son graphe n'est pas clos en${\style d'affichage X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\style d'affichage Y}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage f:X\à Y}$${\style d'affichage f(0)=1}$${\style d'affichage f(x)=0}$${\style d'affichage x\neq 0.}$${\style d'affichage f:X\à Y}$${\style d'affichage X\fois Y.}$
• Si est un espace, alors la carte d'identité est continue mais son graphe, qui est la diagonale, est fermé en si et seulement si est Hausdorff. En particulier, si n'est pas Hausdorff alors est continu mais non fermé.${\style d'affichage X}$${\displaystyle \operatorname {Id} :X\to X}$${\displaystyle \operatorname {Gr} \operatorname {Id} =\{(x,x):x\in X\},}$${\style d'affichage X\fois X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle \operatorname {Id} :X\to X}$
• Si est une application continue dont le graphe n'est pas fermé alors n'est pas un espace de Hausdorff.${\style d'affichage f:X\à Y}$${\style d'affichage Y}$

Cartes fermées mais pas continues

• Si est un TVS de Hausdorff et est une topologie vectorielle sur qui est strictement plus fine que l'application d'identité un opérateur linéaire discontinu fermé. ${\style d'affichage (X,\tau )}$${\style d'affichage \nu }$${\style d'affichage X}$${\displaystyle \tau ,}$${\displaystyle \operatorname {Id} :(X,\tau )\to (X,\nu )}$
• Considérons l' opérateur dérivé où est l'espace de Banach de toutes les fonctions continues sur un intervalle Si l'on prend son domaine pour être alors est un opérateur fermé, qui n'est pas borné. Par contre, si D ( f ) = , alors ne sera plus fermé, mais il sera fermable, la fermeture étant son extension définie sur${\displaystyle A={\frac {d}{dx}}}$${\style d'affichage X=Y=C([a,b]).}$ ${\style d'affichage [a,b].}$${\style d'affichage D(f)}$${\style d'affichage C^{1}([a,b]),}$${\style d'affichage f}$${\displaystyle C^{\infty }([a,b]).}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage C^{1}([a,b]).}$
• Soit et les deux désignent les nombres réels avec la topologie euclidienne habituelle . Soit défini par et pour tout Alors a un graphe fermé (et un graphe fermé séquentiellement) en mais il n'est pas continu (puisqu'il a une discontinuité en ).${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\style d'affichage f:X\à Y}$${\style d'affichage f(0)=0}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$${\style d'affichage x\neq 0.}$${\style d'affichage f:X\à Y}$${\displaystyle X\times Y=\mathbb {R} ^{2}}$${\style d'affichage x=0}$
• Laissez désigner les nombres réels avec l'habituel topologie euclidienne , laissez représentent la topologie discrète , et laissez - être la carte d'identité ( à savoir pour chaque ). Alors est une application linéaire dont le graphe est fermé dans mais il n'est clairement pas continu (puisque les ensembles de singletons sont ouverts dans mais pas dans ). ${\style d'affichage X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\style d'affichage Y}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {Id} :X\to Y}$${\displaystyle \operatorname {Id} (x):=x}$${\style d'affichage x\dans X}$${\displaystyle \operatorname {Id} :X\to Y}$${\style d'affichage X\fois Y}$${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage X}$

Théorèmes des graphes fermés

Entre les espaces Banach

L'opérateur doit être défini partout , c'est -à- dire que le domaine de is Cette condition est nécessaire, car il existe des opérateurs linéaires fermés non bornés (non continus) ; un exemple prototypique est fourni par l'opérateur dérivé sur le domaine duquel est un sous-ensemble strict de${\style d'affichage D(T)}$${\style d'affichage T}$${\style d'affichage X.}$${\style d'affichage C([0,1]),}$${\style d'affichage C([0,1]).}$

La preuve habituelle du théorème des graphes fermés utilise le théorème d'application ouvert . En fait, le théorème des graphes fermés, le théorème des mappages ouverts et le théorème inverse borné sont tous équivalents . Cette équivalence sert aussi à démontrer l'importance de Banach et d' être Banach ; on peut construire des cartes linéaires qui ont des inverses non bornés dans ce cadre, par exemple, en utilisant soit des fonctions continues avec un support compact, soit en utilisant des séquences avec un nombre fini de termes non nuls avec la norme supremum. ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$

Codomaine métrisable complet

Le théorème du graphe fermé peut être généralisé des espaces de Banach à des espaces vectoriels topologiques plus abstraits des manières suivantes.

Entre les espaces F

Il existe des versions qui ne nécessitent pas d'être localement convexes. ${\style d'affichage Y}$

Ce théorème est reformulé et étendu avec quelques conditions qui peuvent être utilisées pour déterminer si un graphe est fermé :

Codomaine pseudométrisable complet

Tout espace topologique métrisable est pseudométrisable . Un espace pseudométrisable est métrisable si et seulement si c'est Hausdorff .

Codomaine incomplet ou (pseudo) métrisable

Une version encore plus générale du théorème des graphes fermés est

Théorème des graphes de Borel

Le théorème des graphes de Borel, démontré par L. Schwartz, montre que le théorème des graphes fermés est valable pour des applications linéaires définies et valorisées dans la plupart des espaces rencontrés en analyse. Rappelons qu'un espace topologique est appelé espace polonais s'il s'agit d'un espace métrisable complet séparable et qu'un espace de Souslin est l'image continue d'un espace polonais. Le dual faible d'un espace de Fréchet séparable et le dual fort d'un espace de Fréchet-Montel séparable sont des espaces de Souslin. De plus, l'espace des distributions et tous les espaces Lp sur des sous-ensembles ouverts de l'espace euclidien ainsi que de nombreux autres espaces qui se produisent dans l'analyse sont des espaces de Souslin. Le théorème du graphe de Borel énonce :

Une amélioration de ce théorème, prouvée par A. Martineau, utilise les espaces K-analytiques.

Un espace topologique est appelé K _σδ si elle est l'intersection dénombrable des syndicats dénombrable d'ensembles compacts. ${\style d'affichage X}$

Un espace topologique séparé est appelée K-analytique si elle est l'image continue d'un K _de l'espace (qui est, s'il y a un K _de l'espace et une application continue de sur ). ${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$

Chaque ensemble compact est K-analytique de sorte qu'il existe des espaces K-analytiques non séparables. De plus, chaque espace de Fréchet polonais, de Souslin et réflexif est K-analytique, tout comme le dual faible d'un espace de Fréchet. Le théorème généralisé des graphes de Borel énonce :

Résultats associés

Si est un opérateur linéaire fermé d'un TVS localement convexe de Hausdorff dans un TVS de dimension finie de Hausdorff alors F est continu. ${\style d'affichage F:X\à Y}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$

Voir également

• Carte linéaire presque ouverte
• Espace Banach  – Espace vectoriel normé qui est complet
• Espace barré  – Un espace vectoriel topologique avec des exigences quasi minimales pour le théorème de Banach-Steinhaus à tenir.
•  Graphique fermé – Graphique d'une carte fermée dans l'espace produit
• Opérateur linéaire fermé
• Carte linéaire continue
• Opérateur densément défini  - Fonction qui est définie presque partout (mathématiques)
• Carte linéaire discontinue
• Théorème du point fixe de Kakutani  – On quand une fonction f : S→Pow(S) sur un sous-ensemble convexe compact non vide S⊂ℝⁿ a un point fixe
• Espace vectoriel topologique localement convexe  - Un espace vectoriel avec une topologie définie par des ensembles ouverts convexes
• Théorème de mappage ouvert (analyse fonctionnelle)  - Condition pour qu'un opérateur linéaire soit ouvert
• Espace vectoriel topologique  – Espace vectoriel avec une notion de proximité
• Théorème d'Ursescu  - Généralisation du graphe fermé, du mappage ouvert et du théorème de bornage uniforme
• Espace palmé  - Espaces où tiennent les théorèmes de la cartographie ouverte et des graphes fermés

Les références

Bibliographie

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