La formule d'Euler - Euler's formula

La formule d'Euler , du nom de Leonhard Euler , est une formule mathématique en analyse complexe qui établit la relation fondamentale entre les fonctions trigonométriques et la fonction exponentielle complexe . La formule d'Euler stipule que pour tout nombre réel $x$ :

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

où $e$ est la base du logarithme népérien , $i$ est l' unité imaginaire , et $cos$ et $sin$ sont respectivement les fonctions trigonométriques cosinus et sinus . Cette fonction exponentielle complexe est parfois notée $cis x$ (" c osine plus i s ine "). La formule est toujours valide si $x$ est un nombre complexe , et donc certains auteurs appellent la version complexe plus générale la formule d'Euler.

La formule d'Euler est omniprésente en mathématiques, en physique et en ingénierie. Le physicien Richard Feynman a appelé l'équation « notre joyau » et « la formule la plus remarquable en mathématiques ».

Lorsque $x = π$ , la formule d'Euler les évalue à $e iπ + 1 = 0$ , qui est connu comme l'identité d'Euler .

Histoire

En 1714, le mathématicien anglais Roger Cotes a présenté un argument géométrique qui peut être interprété (après avoir corrigé un facteur mal placé de ) comme : ${\sqrt {-1}}$

ix=\ln(\cos x+i\sin x).

L'exponentiation de cette équation donne la formule d'Euler. Notez que l'énoncé logarithmique n'est pas universellement correct pour les nombres complexes, car un logarithme complexe peut avoir une infinité de valeurs, différant par des multiples de $2 i$ .

Vers 1740, Leonhard Euler s'est intéressé à la fonction exponentielle et a dérivé l'équation qui porte son nom en comparant les développements en série des expressions exponentielles et trigonométriques. La formule a été publiée pour la première fois en 1748 dans son ouvrage fondateur Introductio in analysin infinitorum .

Johann Bernoulli avait trouvé que

{\frac {1}{1+x^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{1-ix}}+{\frac { 1}{1+ix}}\droit).

Et depuis

\int {\frac {dx}{1+ax}}={\frac {1}{a}}\ln(1+ax)+C,

l'équation ci-dessus nous dit quelque chose sur les logarithmes complexes en reliant les logarithmes naturels à des nombres imaginaires (complexes). Bernoulli, cependant, n'a pas évalué l'intégrale.

La correspondance de Bernoulli avec Euler (qui connaissait aussi l'équation ci-dessus) montre que Bernoulli ne comprenait pas complètement les logarithmes complexes . Euler a également suggéré que les logarithmes complexes peuvent avoir une infinité de valeurs.

La vision des nombres complexes en tant que points dans le plan complexe a été décrite environ 50 ans plus tard par Caspar Wessel .

Définitions de l'exponentiation complexe

La fonction exponentielle $e x$ pour les valeurs réelles de $x$ peut être définie de différentes manières équivalentes (voir Caractérisations de la fonction exponentielle ). Plusieurs de ces méthodes peuvent être directement étendues pour donner des définitions de $e z$ pour des valeurs complexes de $z$ simplement en substituant $z$ à la place de $x$ et en utilisant les opérations algébriques complexes. En particulier, nous pouvons utiliser l'une des trois définitions suivantes, qui sont équivalentes. D'un point de vue plus avancé, chacune de ces définitions peut être interprétée comme donnant la continuation analytique unique de $e x$ au plan complexe.

Définition de l'équation différentielle

La fonction exponentielle est l'unique fonction différentiable d'une variable complexe telle que $z\mapsto e^{z}$

{\frac {de^{z}}{dz}}=e^{z}

et

e^{0}=1.

Définition des séries de puissance

Pour le complexe $z$

e^{z}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{ 3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.

En utilisant le test du rapport , il est possible de montrer que cette série entière a un rayon de convergence infini et définit ainsi $e z$ pour tout $z$ complexe .

Définition de limite

Pour le complexe $z$

e^{z}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.

Ici, $n$ est limité aux entiers positifs , il n'y a donc aucun doute sur la signification de la puissance avec l'exposant $n$ .

Preuves

Diverses démonstrations de la formule sont possibles.

Utiliser la différenciation

Cette preuve montre que le quotient des expressions trigonométriques et exponentielles est celui de la fonction constante, ils doivent donc être égaux (la fonction exponentielle n'est jamais nulle, donc c'est permis).

Soit $f (θ)$ la fonction

f(\theta )=e^{-i\theta }(\cos \theta +i\sin \theta )

pour de vrai $θ$ . En différenciant, nous avons, par la règle du produit

f'(\theta )=e^{-i\theta }(i\cos \theta -\sin \theta )-ie^{-i\theta }(\cos \theta +i\sin \theta )=0

Ainsi, $f (θ)$ est une constante. Puisque $f (0) = 1$ , alors $f (θ) = 1$ pour tout réel $θ$ , et donc

e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .

Utiliser des séries entières

Voici une preuve de la formule d'Euler utilisant des développements en séries de puissance , ainsi que des faits de base sur les puissances de $i$ :

{\begin{aligned}i^{0}&=1,&i^{1}&=i,&i^{2}&=-1,&i^{3}&=-i,\\i ^{4}&=1,&i^{5}&=i,&i^{6}&=-1,&i^{7}&=-i\\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{aligné}}

En utilisant maintenant la définition de la série de puissance ci-dessus, nous voyons que pour les valeurs réelles de $x$

{\begin{aligned}e^{ix}&=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{ 3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{ 6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots \\[ 8pt]&=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}} {4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7 !}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+ {\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7 }}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&=\cos x+i\sin x,\end{aligned}}

où dans la dernière étape, nous reconnaissons que les deux termes sont la série de Maclaurin pour $cos x$ et $sin x$ . Le réarrangement des termes est justifié car chaque série est absolument convergente .

Utiliser les coordonnées polaires

Une autre preuve est basée sur le fait que tous les nombres complexes peuvent être exprimés en coordonnées polaires. Par conséquent, pour certains $r$ et $θ$ en fonction de $x$ ,

e^{ix}=r(\cos \theta +i\sin \theta ).

Aucune hypothèse n'est faite sur $r$ et $θ$ ; ils seront déterminés au cours de la preuve. À partir de n'importe laquelle des définitions de la fonction exponentielle, on peut montrer que la dérivée de $e ix$ est $ie ix$ . Par conséquent, la différenciation des deux côtés donne

ie^{ix}=(\cos \theta +i\sin \theta ){\frac {dr}{dx}}+r(-\sin \theta +i\cos \theta ){\frac { d\theta }{dx}}.

Substituer $r (cos θ + i sin θ)$ pour $e ix$ et égaliser les parties réelle et imaginaire dans cette formule donne $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} docteur/dx= 0$ et $dθ / dx = 1$ . Ainsi, $r$ est une constante et $θ$ est $x + C$ pour une constante $C$ . Les valeurs initiales $r (0) = 1$ et $θ (0) = 0$ provenir $e 0 i = 1$ , ce qui donne $r = 1$ et $θ = x$ . Cela prouve la formule

e^{ix}=1(\cos x+i\sin x)=\cos x+i\sin x.

Applications

Applications en théorie des nombres complexes

La formule d'Euler

l'e iφ = cos φ + i sin φ

représenté dans le plan complexe.

Visualisation tridimensionnelle de la formule d'Euler. Voir aussi polarisation circulaire .

Interprétation de la formule

Cette formule peut être interprétée comme disant que la fonction $e iφ$ est une unité de nombre complexe , à savoir qu'il trace sur le cercle unité dans le plan complexe que $& phiv$ gammes à travers les nombres réels. Ici $φ$ est l' angle qu'une ligne reliant l'origine à un point du cercle unité fait avec l' axe réel positif , mesuré dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et en radians .

La preuve originale est basée sur les développements en série de Taylor de la fonction exponentielle $e z$ (où $z$ est un nombre complexe) et de $sin x$ et $cos x$ pour les nombres réels $x$ (voir ci-dessous). En fait, la même preuve montre que la formule d'Euler est même valable pour tous les nombres complexes $x$ .

Un point dans le plan complexe peut être représenté par un nombre complexe écrit en coordonnées cartésiennes . La formule d'Euler fournit un moyen de conversion entre les coordonnées cartésiennes et les coordonnées polaires . La forme polaire simplifie les mathématiques lorsqu'elle est utilisée dans la multiplication ou les puissances de nombres complexes. Tout nombre complexe $z = x + iy$ , et son conjugué complexe, $z = x - iy$ , peut s'écrire sous la forme

{\begin{aligned}z&=x+iy=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi },\\{\bar {z}}&= x-iy=|z|(\cos \varphi -i\sin \varphi )=re^{-i\varphi },\end{aligned}}

où

x = Re z

est la partie réelle,

y = Im z

est la partie imaginaire,

r = | z | = \sqrt x 2 + y 2

est la grandeur de

z

et

φ = arg z = atan2 (y, x)

.

$φ$ est l' argumentation des $z$ , à savoir l'angle entre le x axe et le vecteur z mesuré dans le sens antihoraire en radians , qui est définie à l' addition de $2 π$ . De nombreux textes écrivent $φ = tan -1 oui / X$ au lieu de $φ = atan2(y, x)$ , mais la première équation doit être ajustée lorsque $x 0$ . En effet, pour tout réel $x$ et $y$ , pas tous les deux nuls, les angles des vecteurs $(x, y)$ et $(- x, - y)$ diffèrent de $π$ radians, mais ont la même valeur de $tan φ = oui / X$ .

Utilisation de la formule pour définir le logarithme des nombres complexes

Maintenant, en prenant cette formule dérivée, nous pouvons utiliser la formule d'Euler pour définir le logarithme d'un nombre complexe. Pour ce faire, on utilise aussi la définition du logarithme (comme opérateur inverse d'exponentiation) :

a=e^{\ln a},

et cela

e^{a}e^{b}=e^{a+b},

tous deux valables pour tous les nombres complexes $a$ et $b$ . On peut donc écrire :

z=|z|e^{i\varphi }=e^{\ln |z|}e^{i\varphi }=e^{\ln |z|+i\varphi }

pour tout $z 0$ . Prendre le logarithme des deux côtés montre que

\ln z=\ln |z|+i\varphi ,

et en fait, cela peut être utilisé comme définition du logarithme complexe . Le logarithme d'un nombre complexe est donc une fonction multivaluée , car $φ$ est multivalué.

Enfin, l'autre loi exponentielle

\left(e^{a}\right)^{k}=e^{ak},

qui peut être vu pour tous les entiers $k$ , ainsi que la formule d'Euler, implique plusieurs identités trigonométriques , ainsi que la formule de Moivre .

Relation avec la trigonométrie

Relation entre sinus, cosinus et fonction exponentielle

La formule d'Euler fournit un lien puissant entre l' analyse et la trigonométrie , et fournit une interprétation des fonctions sinus et cosinus en tant que sommes pondérées de la fonction exponentielle :

{\begin{aligned}\cos x&=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2} },\\\sin x&=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.\end{ aligné}}

Les deux équations ci-dessus peuvent être dérivées en ajoutant ou en soustrayant les formules d'Euler :

{\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x,\\e^{-ix}&=\cos(-x)+i\sin(-x)= \cos xi\sin x\end{aligné}}

et la résolution du cosinus ou du sinus.

Ces formules peuvent même servir de définition des fonctions trigonométriques pour les arguments complexes $x$ . Par exemple, en laissant $x = iy$ , nous avons :

{\begin{aligned}\cos iy&={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\cosh y,\\\sin iy&={\frac {e ^{-y}-e^{y}}{2i}}={\frac {e^{y}-e^{-y}}{2}}i=i\sinh y.\end{aligned} }

Les exponentielles complexes peuvent simplifier la trigonométrie, car elles sont plus faciles à manipuler que leurs composantes sinusoïdales. Une technique consiste simplement à convertir les sinusoïdes en expressions équivalentes en termes d'exponentielles. Après les manipulations, le résultat simplifié est toujours valorisé. Par exemple:

{\begin{aligned}\cos x\cos y&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\cdot {\frac {e^{iy}+e ^{-iy}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(xy)}+ e^{i(-x+y)}+e^{i(-xy)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}{\bigg (}\underbrace {\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}} _{\cos(x+y)}+\underbrace {\frac {e^{i( xy)}+e^{-i(xy)}}{2}} _{\cos(xy)}{\bigg )}.\end{aligned}}

Une autre technique consiste à représenter les sinusoïdes en termes de partie réelle d'une expression complexe et à effectuer les manipulations sur l'expression complexe. Par exemple:

{\begin{aligned}\cos nx&=\operatorname {Re} \left(e^{inx}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(e^{i(n-1) x}\cdot e^{ix}\right)\\&=\operatorname {Re} {\Big (}e^{i(n-1)x}\cdot {\big (}\underbrace {e^{ ix}+e^{-ix}} _{2\cos x}-e^{-ix}{\big )}{\Big )}\\&=\operatorname {Re} \left(e^{i (n-1)x}\cdot 2\cos xe^{i(n-2)x}\right)\\&=\cos[(n-1)x]\cdot [2\cos x]-\ cos[(n-2)x].\end{aligned}}

Cette formule est utilisée pour la génération récursive de $cos nx$ pour des valeurs entières de $n$ et $x$ arbitraires (en radians).

Voir aussi arithmétique des phases .

Interprétation topologique

Dans la langue de la topologie , la formule d'Euler indique que la fonction exponentielle imaginaire est un ( surjective ) morphisme de groupes topologiques de la ligne réelle au cercle unité . En fait, cela présente comme un espace de couverture de . De même, l'identité d'Euler dit que le noyau de cette application est , où . Ces observations peuvent être combinées et résumées dans le diagramme commutatif ci- dessous : $t\mapsto e^{it}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {S} ^{1}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {S} ^{1}$ $\tau \mathbb {Z}$ ${\style d'affichage \tau =1\pi }$

Autres applications

Dans les équations différentielles , la fonction $e ix$ est souvent utilisée pour simplifier les solutions, même si la réponse finale est une fonction réelle impliquant sinus et cosinus. La raison en est que la fonction exponentielle est la fonction propre de l'opération de différenciation .

En génie électrique , en traitement du signal et dans des domaines similaires, les signaux qui varient périodiquement dans le temps sont souvent décrits comme une combinaison de fonctions sinusoïdales (voir l'analyse de Fourier ), et celles-ci sont plus commodément exprimées comme la somme de fonctions exponentielles avec des exposants imaginaires , en utilisant la méthode d'Euler. formule. En outre, l' analyse de phaseur des circuits peut inclure la formule d'Euler pour représenter l'impédance d'un condensateur ou d'une inductance.

Dans l' espace à quatre dimensions des quaternions , il existe une sphère d' unités imaginaires . Pour tout point $r$ sur cette sphère, et $x$ un nombre réel, la formule d'Euler s'applique :

\exp xr=\cos x+r\sin x,

et l'élément est appelé un verseur en quaternions. L'ensemble de tous les verseurs forme une 3-sphère dans l'espace 4.

Voir également

Les références

^ Moskowitz, Martin A. (2002). Un cours d'analyse complexe à une variable . World Scientific Publishing Co. p. 7. ISBN 981-02-4780-X.
^ Feynman, Richard P. (1977). Les conférences Feynman sur la physique, vol. je . Addison-Wesley. p. 22-10. ISBN 0-201-02010-6.
^
Cotes a écrit : « Nam si quadrantis circuli quilibet arcus, radio CE descriptus, sinun habeat CX sinumque complementi ad quadrantem XE ; sumendo radium CE pro Modulo, arcus erit rationis inter & $EX+XC{\sqrt {-1}}$ CE mensura ducta in . » ${\sqrt {-1}}$ (Ainsi si n'importe quel arc de quadrant de cercle, décrit par le rayon CE , a un sinus CX et un sinus du complément au quadrant XE ; en prenant le rayon CE comme module, l'arc sera la mesure du rapport entre& CE multiplié par.) Autrement dit, considérons un cercle de centre E (à l'origine du plan (x,y)) et de rayon CE . Considérons un angle θ avec son sommet à E ayant l'axe x positifun côté et un rayon CE en tant que l'autre côté. La perpendiculaire du point C du cercle à l'axe des x est le "sinus" CX ; la ligne entre le centre du cercle E et le point X au pied de la perpendiculaire est XE , qui est le "sinus du complément au quadrant" ou "cosinus". Le rapport entreet CE est donc. Dans la terminologie de Cotes, la "mesure" d'une quantité est son logarithme népérien, et le "module" est un facteur de conversion qui transforme une mesure d'angle en longueur d'arc de cercle (ici, le module est le rayon ( CE ) du cercle ). Selon Cotes, le produit du module etla mesure (logarithme) du rapport, lorsqu'ilmultiplié par, est égalela longueur de l'arccercle soustendu par θ , quipour un angle mesuré en radians est CE • thetav . Ainsi,. Cette équation a le mauvais signe : le facteur dedoit être du côté droit de l'équation, pas du côté gauche. Si ce changement est effectué, alors, après avoir divisé les deux côtés par CE
et exponentielle des deux côtés, le résultat est : , qui est la formule d'Euler. Voir: $EX+XC{\sqrt {-1}}$ $EX+XC{\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1}}$ $EX+XC{\sqrt {-1}}$ $EX+XC{\sqrt {-1}}$ $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \$ $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \$ ${\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ ${\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1}}$ $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }$ $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }$
- Roger Cotes (1714) "Logometria," Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 29 (338) : 5-45 ; voir notamment page 32. Disponible en ligne sur : Hathi Trust
- Roger Cotes avec Robert Smith, éd., Harmonia mensurarum … (Cambridge, Angleterre : 1722), chapitre : « Logometria », p. 28 .
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^ Strang, Gilbert (1991). Calcul . Wellesley-Cambridge. p. 389. ISBN 0-9614088-2-0. Deuxième preuve à la page.

Lectures complémentaires

Nahin, Paul J. (2006). La formule fabuleuse du Dr Euler : guérit de nombreux maux mathématiques . Presse de l'Université de Princeton. ISBN 978-0-691-11822-2.
Wilson, Robin (2018). L'équation pionnière d'Euler : le plus beau théorème en mathématiques . Oxford : Oxford University Press. ISBN 978-0-19-879492-9. MR 3791469 .

Liens externes

Éléments d'algèbre

[1] Moskowitz, Martin A. (2002). Un cours d'analyse complexe à une variable . World Scientific Publishing Co. p. 7. ISBN 981-02-4780-X.

[2] Feynman, Richard P. (1977). Les conférences Feynman sur la physique, vol. je . Addison-Wesley. p. 22-10. ISBN 0-201-02010-6.

[3] Cotes a écrit : « Nam si quadrantis circuli quilibet arcus, radio CE descriptus, sinun habeat CX sinumque complementi ad quadrantem XE ; sumendo radium CE pro Modulo, arcus erit rationis inter & $EX+XC{\sqrt {-1}}$ CE mensura ducta in . » ${\sqrt {-1}}$ (Ainsi si n'importe quel arc de quadrant de cercle, décrit par le rayon CE , a un sinus CX et un sinus du complément au quadrant XE ; en prenant le rayon CE comme module, l'arc sera la mesure du rapport entre& CE multiplié par.) Autrement dit, considérons un cercle de centre E (à l'origine du plan (x,y)) et de rayon CE . Considérons un angle θ avec son sommet à E ayant l'axe x positifun côté et un rayon CE en tant que l'autre côté. La perpendiculaire du point C du cercle à l'axe des x est le "sinus" CX ; la ligne entre le centre du cercle E et le point X au pied de la perpendiculaire est XE , qui est le "sinus du complément au quadrant" ou "cosinus". Le rapport entreet CE est donc. Dans la terminologie de Cotes, la "mesure" d'une quantité est son logarithme népérien, et le "module" est un facteur de conversion qui transforme une mesure d'angle en longueur d'arc de cercle (ici, le module est le rayon ( CE ) du cercle ). Selon Cotes, le produit du module etla mesure (logarithme) du rapport, lorsqu'ilmultiplié par, est égalela longueur de l'arccercle soustendu par θ , quipour un angle mesuré en radians est CE • thetav . Ainsi,. Cette équation a le mauvais signe : le facteur dedoit être du côté droit de l'équation, pas du côté gauche. Si ce changement est effectué, alors, après avoir divisé les deux côtés par CE et exponentielle des deux côtés, le résultat est : , qui est la formule d'Euler. Voir: $EX+XC{\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1}}$ $EX+XC{\sqrt {-1}}$ $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \$ ${\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ ${\sqrt {-1}}$ $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }$

Roger Cotes (1714) "Logometria," Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 29 (338) : 5-45 ; voir notamment page 32. Disponible en ligne sur : Hathi Trust

Roger Cotes avec Robert Smith, éd., Harmonia mensurarum … (Cambridge, Angleterre : 1722), chapitre : « Logometria », p. 28 .

[4] Roger Cotes (1714) "Logometria," Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 29 (338) : 5-45 ; voir notamment page 32. Disponible en ligne sur : Hathi Trust

[5] Roger Cotes avec Robert Smith, éd., Harmonia mensurarum … (Cambridge, Angleterre : 1722), chapitre : « Logometria », p. 28 .

[Stillwell-4] un ^b John Stillwell (2002). Mathématiques et son histoire . Springer. ISBN 9781441960528.

[5] Sandifer, C. Edward (2007), Les plus grands succès d'Euler , Association mathématique d'Amérique ISBN 978-0-88385-563-8

[6] Leonard Euler (1748) Chapitre 8 : Sur les quantités transcendantes issues du cercle de l' Introduction à l'analyse de l'infini , page 214, section 138 (traduction par Ian Bruce, lien pdf des mathématiques du 17 siècle).

[7] Conway et Guy, p. 254–255

[8] Bernoulli, Johann (1702). "Solution d'un problème concernant le calcul intégral, avec quelques abrégés par rapport à ce calcul". Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris . 1702 : 289-297.

[Apostol-9] Apostol, Tom (1974). Analyse mathématique . Pearson. p. 20. ISBN 978-02010002881. Théorème 1.42

[10] user02138 ( https://math.stackexchange.com/users/2720/user02138 ), Comment prouver la formule d'Euler : $e^{i\varphi}=\cos(\varphi) +i\sin(\varphi)$ ?, URL (version : 2018-06-25) : https://math.stackexchange.com/q/8612

[11] Ricardo, Henry J. (23 mars 2016). Une introduction moderne aux équations différentielles . p. 428. ISBN 9780123859136.

[Strang-12] Strang, Gilbert (1991). Calcul . Wellesley-Cambridge. p. 389. ISBN 0-9614088-2-0. Deuxième preuve à la page.

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