Règles de différenciation - Differentiation rules

Partie d'une série d'articles sur
Calcul
Théorème fondamental Règle intégrale de Leibniz Limites des fonctions Continuité Théorème de la valeur moyenne Théorème de Rolle
Différentiel Définitions Dérivée  ( généralisations ) Différentiel infinitésimal d'une fonction total Concepts Notation de différenciation Second dérivé Différenciation implicite Différenciation logarithmique Tarifs associés Théorème de Taylor Règles et identités Somme Produit Chaîne Puissance Quotient Règle de l'Hôpital Inverse Général Leibniz La formule de Faà di Bruno
Intégral Listes des intégrales Transformation intégrale Définitions Primordial Intégral  ( incorrect ) Intégrale de Riemann Intégration de Lebesgue Intégration de contour Intégrale des fonctions inverses Intégration par les pièces Disques Coques cylindriques Substitution  ( trigonométrique , Weierstrass , Euler ) Formule d'Euler Fractions partielles Changer l'ordre Formules de réduction Différencier sous le signe intégral
Séries Géométrique  ( arithmético-géométrique ) Harmonique En alternance Puissance Binôme Taylor Tests de convergence Limite de sommation (test de terme) Rapport Racine Intégral Comparaison directe Limiter la comparaison Série alternée Condensation de Cauchy Dirichlet Abel
Vecteur Pente Divergence Boucle Laplacien Dérivée directionnelle Identités Théorèmes Divergence Pente Légumes verts Kelvin – Stokes Stokes
Multivariable Formalismes Matrice Tenseur Extérieur Géométrique Définitions Dérivée partielle Intégrale multiple Intégrale de ligne Intégrale de surface Intégrale de volume Jacobien Toile de jute
Spécialisé Fractionnaire Malliavin Stochastique Variations
Glossaire du calcul Glossaire du calcul Liste des sujets de calcul
v t e

Ceci est un résumé des règles de différenciation , c'est-à-dire des règles de calcul de la dérivée d'une fonction en calcul .

Règles élémentaires de différenciation

Sauf indication contraire, toutes les fonctions sont des fonctions de nombres réels ( R ) qui renvoient des valeurs réelles; bien que plus généralement, les formules ci-dessous s'appliquent partout où elles sont bien définies - y compris le cas des nombres complexes ( C ) .

La différenciation est linéaire

Pour toutes les fonctions et et tous les nombres réels et , la dérivée de la fonction par rapport à est ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ Displaystyle h (x) = af (x) + bg (x)}$${\ displaystyle x}$

${\ Displaystyle h '(x) = af' (x) + bg '(x).}$

Dans la notation de Leibniz, cela s'écrit:

${\ displaystyle {\ frac {d (af + bg)} {dx}} = a {\ frac {df} {dx}} + b {\ frac {dg} {dx}}.}$

Les cas spéciaux incluent:

• La règle du facteur constant

${\ displaystyle (af) '= af'}$

• La règle de la somme

${\ displaystyle (f + g) '= f' + g '}$

• La règle de soustraction

${\ displaystyle (fg) '= f'-g'.}$

La règle du produit

Pour les fonctions f et g , la dérivée de la fonction h ( x ) = f ( x ) g ( x ) par rapport à x est

${\ Displaystyle h '(x) = (fg)' (x) = f '(x) g (x) + f (x) g' (x).}$

Dans la notation de Leibniz, ceci est écrit

${\ displaystyle {\ frac {d (fg)} {dx}} = {\ frac {df} {dx}} g + f {\ frac {dg} {dx}}.}$

La règle de la chaîne

Le dérivé de la fonction est ${\ Displaystyle h (x) = f (g (x))}$

${\ Displaystyle h '(x) = f' (g (x)) \ cdot g '(x).}$

Dans la notation de Leibniz, cela s'écrit:

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} h (x) = {\ frac {d} {dz}} f (z) | _ {z = g (x)} \ cdot {\ frac {d} {dx}} g (x),}$

souvent abrégé en

${\ displaystyle {\ frac {dh (x)} {dx}} = {\ frac {df (g (x))} {dg (x)}} \ cdot {\ frac {dg (x)} {dx} }.}$

En se concentrant sur la notion de cartes, et le différentiel étant une carte , cela s'écrit de manière plus concise comme: ${\ displaystyle {\ text {D}}}$

${\ displaystyle [{\ text {D}} (f \ circ g)] _ {x} = [{\ text {D}} f] _ {g (x)} \ cdot [{\ text {D}} g] _ {x} \ ,.}$

La règle de la fonction inverse

Si la fonction f a une fonction inverse g , cela signifie que et alors ${\ Displaystyle g (f (x)) = x}$${\ Displaystyle f (g (y)) = y,}$

${\ displaystyle g '= {\ frac {1} {f' \ circ g}}.}$

En notation Leibniz, cela s'écrit

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dy}} = {\ frac {1} {\ frac {dy} {dx}}}.}$

Lois de puissance, polynômes, quotients et réciproques

La règle de puissance polynomiale ou élémentaire

Si , pour un nombre réel, alors ${\ displaystyle f (x) = x ^ {r}}$${\ displaystyle r \ neq 0,}$

${\ Displaystyle f '(x) = rx ^ {r-1}.}$

Quand cela devient le cas particulier que si alors${\ displaystyle r = 1,}$${\ Displaystyle f (x) = x,}$${\ displaystyle f '(x) = 1.}$

La combinaison de la règle de puissance avec la somme et les règles multiples constantes permet le calcul de la dérivée de n'importe quel polynôme.

La règle réciproque

La dérivée de pour toute fonction (non vicieuse) f est: ${\ displaystyle h (x) = {\ frac {1} {f (x)}}}$

${\ Displaystyle h '(x) = - {\ frac {f' (x)} {(f (x)) ^ {2}}}}$partout où f est non nul.

Dans la notation de Leibniz, cela s'écrit

${\ displaystyle {\ frac {d (1 / f)} {dx}} = - {\ frac {1} {f ^ {2}}} {\ frac {df} {dx}}.}$

La règle de réciprocité peut être dérivée soit de la règle de quotient, soit de la combinaison de règle de puissance et de règle de chaîne.

La règle du quotient

Si f et g sont des fonctions, alors:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {f} {g}} \ right) '= {\ frac {f'g-g'f} {g ^ {2}}} \ quad}$partout où g est différent de zéro.

Cela peut être dérivé de la règle du produit et de la règle de réciprocité.

Règle de puissance généralisée

La règle du pouvoir élémentaire se généralise considérablement. La règle de puissance la plus générale est la règle de puissance fonctionnelle : pour toutes les fonctions f et g ,

${\ displaystyle (f ^ {g}) '= \ left (e ^ {g \ ln f} \ right)' = f ^ {g} \ left (f '{g \ over f} + g' \ ln f \ droite), \ quad}$

partout où les deux côtés sont bien définis.

Cas spéciaux

• Si , alors quand a est un nombre réel différent de zéro et x est positif.${\ textstyle f (x) = x ^ {a} \!}$${\ textstyle f '(x) = ax ^ {a-1}}$
• La règle de réciprocité peut être dérivée comme le cas spécial où .${\ textstyle g (x) = - 1 \!}$

Dérivées de fonctions exponentielles et logarithmiques

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (c ^ {ax} \ right) = {ac ^ {ax} \ ln c}, \ qquad c> 0}$

l'équation ci-dessus est vraie pour tout c , mais la dérivée pour donne un nombre complexe. ${\ textstyle c <0}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (e ^ {ax} \ right) = ae ^ {ax}}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ log _ {c} x \ right) = {1 \ over x \ ln c}, \ qquad c> 0, c \ neq 1}$

l'équation ci-dessus est également vraie pour tout c , mais donne un nombre complexe si . ${\ textstyle c <0 \!}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ ln x \ right) = {1 \ over x}, \ qquad x> 0.}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ ln | x | \ right) = {1 \ over x}.}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (x ^ {x} \ right) = x ^ {x} (1+ \ ln x).}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (f (x) ^ {g (x)} \ right) = g (x) f (x) ^ {g (x) -1} {\ frac {df} {dx}} + f (x) ^ {g (x)} \ ln {(f (x))} {\ frac {dg} {dx}}, \ qquad {\ text {if}} f (x)> 0, {\ text {et if}} {\ frac {df} {dx}} {\ text {et}} {\ frac {dg} {dx}} {\ text {exist.}} }$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (f_ {1} (x) ^ {f_ {2} (x) ^ {\ left (... \ right) ^ {f_ {n} ( x)}}} \ right) = \ left [\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}} \ left (f_ {1} ( x_ {1}) ^ {f_ {2} (x_ {2}) ^ {\ left (... \ right) ^ {f_ {n} (x_ {n})}}} \ right) \ right] { \ biggr \ vert} _ {x_ {1} = x_ {2} = ... = x_ {n} = x}, {\ text {if}} f_ {i <n} (x)> 0 {\ text { et }}}$ ${\ displaystyle {\ frac {df_ {i}} {dx}} {\ text {existe. }}}$

Dérivés logarithmiques

Le dérivé logarithmique est une autre façon d'énoncer la règle de différenciation du logarithme d'une fonction (en utilisant la règle de chaîne):

${\ displaystyle (\ ln f) '= {\ frac {f'} {f}} \ quad}$partout où f est positif.

La différenciation logarithmique est une technique qui utilise les logarithmes et ses règles de différenciation pour simplifier certaines expressions avant d'appliquer réellement la dérivée. Les logarithmes peuvent être utilisés pour supprimer des exposants, convertir des produits en sommes et convertir une division en soustraction - chacune d'entre elles pouvant conduire à une expression simplifiée pour prendre des dérivés.

Dérivés des fonctions trigonométriques

${\ displaystyle (\ sin x) '= \ cos x}$	${\ displaystyle (\ arcsin x) '= {1 \ over {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}$
${\ displaystyle (\ cos x) '= - \ sin x}$	${\ displaystyle (\ arccos x) '= - {1 \ over {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}$
${\ displaystyle (\ tan x) '= \ sec ^ {2} x = {1 \ over \ cos ^ {2} x} = 1 + \ tan ^ {2} x}$	${\ displaystyle (\ arctan x) '= {1 \ over 1 + x ^ {2}}}$
${\ displaystyle (\ cot x) '= - \ csc ^ {2} x = - {1 \ over \ sin ^ {2} x} = - (1+ \ cot ^ {2} x)}$	${\ displaystyle (\ operatorname {arccot} x) '= - {1 \ over 1 + x ^ {2}}}$
${\ displaystyle (\ sec x) '= \ tan x \ sec x}$	${\ displaystyle (\ operatorname {arcsec} x) '= {1 \ over | x | {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}$
${\ displaystyle (\ csc x) '= - \ cot x \ csc x}$	${\ displaystyle (\ operatorname {arccsc} x) '= - {1 \ over | x | {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}$

Il est commun pour définir en outre une fonction tangente inverse avec deux arguments , . Sa valeur se situe dans la plage et reflète le quadrant du point . Pour le premier et le quatrième quadrant (ie ) on a . Ses dérivés partiels sont ${\ Displaystyle \ arctan (y, x) \!}$${\ displaystyle [- \ pi, \ pi] \!}$${\ Displaystyle (x, y) \!}$${\ displaystyle x> 0 \!}$${\ displaystyle \ arctan (y, x> 0) = \ arctan (y / x) \!}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ arctan (y, x)} {\ partial y}} = {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$, et ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ arctan (y, x)} {\ partial x}} = {\ frac {-y} {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}$

Dérivées de fonctions hyperboliques

${\ displaystyle (\ sinh x) '= \ cosh x = {\ frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {2}}}$	${\ displaystyle (\ operatorname {arsinh} \, x) '= {1 \ over {\ sqrt {x ^ {2} +1}}}}$
${\ displaystyle (\ cosh x) '= \ sinh x = {\ frac {e ^ {x} -e ^ {- x}} {2}}}$	${\ displaystyle (\ operatorname {arcosh} \, x) '= {\ frac {1} {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}$
${\ displaystyle (\ tanh x) '= {\ operatorname {sech} ^ {2} \, x}}$	${\ displaystyle (\ operatorname {artanh} \, x) '= {1 \ over 1-x ^ {2}}}$
${\ displaystyle (\ operatorname {coth} \, x) '= - \, \ operatorname {csch} ^ {2} \, x}$	${\ displaystyle (\ operatorname {arcoth} \, x) '= {1 \ over 1-x ^ {2}}}$
${\ displaystyle (\ operatorname {sech} \, x) '= - \ tanh x \, \ operatorname {sech} \, x}$	${\ displaystyle (\ operatorname {arsech} \, x) '= - {1 \ over x {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}$
${\ displaystyle (\ operatorname {csch} \, x) '= - \, \ operatorname {coth} \, x \, \ operatorname {csch} \, x}$	${\ displaystyle (\ operatorname {arcsch} \, x) '= - {1 \ over | x | {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}}$

Voir Fonctions hyperboliques pour les restrictions sur ces dérivés.

Dérivés de fonctions spéciales

Fonction gamma ${\ displaystyle \ quad \ Gamma (x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {x-1} e ^ {- t} \, dt}$ ${\ displaystyle \ Gamma '(x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {x-1} e ^ {- t} \ ln t \, dt}$ ${\ displaystyle \, = \ Gamma (x) \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ ln \ left (1 + {\ dfrac {1} {n}} \ right) - {\ dfrac {1} {x + n}} \ right) - {\ dfrac {1} {x}} \ right)}$ ${\ displaystyle \, = \ Gamma (x) \ psi (x)}$ avec étant la fonction digamma , exprimée par l'expression entre parenthèses à droite de la ligne ci - dessus. ${\ displaystyle \ psi (x)}$${\ displaystyle \ Gamma (x)}$

Fonction Riemann Zeta${\ displaystyle \ quad \ zeta (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {x}}}}$ ${\ displaystyle \ zeta '(x) = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ ln n} {n ^ {x}}} = - {\ frac {\ ln 2} {2 ^ {x}}} - {\ frac {\ ln 3} {3 ^ {x}}} - {\ frac {\ ln 4} {4 ^ {x}}} - \ cdots}$ ${\ displaystyle \, = - \ sum _ {p {\ text {prime}}} {\ frac {p ^ {- x} \ ln p} {(1-p ^ {- x}) ^ {2}} } \ prod _ {q {\ text {prime}}, q \ neq p} {\ frac {1} {1-q ^ {- x}}}}$

Dérivés des intégrales

Supposons qu'il soit nécessaire de différencier par rapport à x la fonction

${\ Displaystyle F (x) = \ int _ {a (x)} ^ {b (x)} f (x, t) \, dt,}$

où les fonctions et sont à la fois continues dans les deux et dans une région du plan, y compris , et les fonctions et sont toutes deux continues et ont toutes deux des dérivées continues pour . Puis pour : ${\ Displaystyle f (x, t)}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \, f (x, t)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle (t, x)}$${\ Displaystyle a (x) \ leq t \ leq b (x),}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ leq x \ leq x_ {1}}$${\ displaystyle a (x)}$${\ displaystyle b (x)}$${\ displaystyle x_ {0} \ leq x \ leq x_ {1}}$${\ displaystyle \, x_ {0} \ leq x \ leq x_ {1}}$

${\ Displaystyle F '(x) = f (x, b (x)) \, b' (x) -f (x, a (x)) \, a '(x) + \ int _ {a (x )} ^ {b (x)} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \, f (x, t) \; dt \ ,.}$

Cette formule est la forme générale de la règle intégrale de Leibniz et peut être dérivée en utilisant le théorème fondamental du calcul .

Dérivés au n ème ordre

Certaines règles existent pour calculer la n - ième dérivée des fonctions, où n est un entier positif. Ceux-ci inclus:

La formule de Faà di Bruno

Si f et g sont n- fois différentiables, alors

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} [f (g (x))] = n! \ sum _ {\ {k_ {m} \}} ^ {} f ^ {(r)} (g (x)) \ prod _ {m = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k_ {m}!}} \ left (g ^ {(m)} (x ) \ droite) ^ {k_ {m}}}$

où et l'ensemble se compose de toutes les solutions entières non négatives de l'équation diophantienne . ${\ displaystyle r = \ sum _ {m = 1} ^ {n-1} k_ {m}}$${\ displaystyle \ {k_ {m} \}}$${\ displaystyle \ sum _ {m = 1} ^ {n} mk_ {m} = n}$

Règle générale de Leibniz

Si f et g sont n- fois différentiables, alors

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} [f (x) g (x)] = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} {\ frac {d ^ {nk}} {dx ^ {nk}}} f (x) {\ frac {d ^ {k}} {dx ^ {k}}} g (x)}$

Voir également

• Identités de calcul vectoriel
• Fonction différentiable
• Différentiel d'une fonction
• Liste des fonctions mathématiques
• Fonctions trigonométriques
• Fonctions trigonométriques inverses
• Fonctions hyperboliques
• Fonctions hyperboliques inverses
• Calcul matriciel
• Différenciation sous le signe intégral

Les références

Sources et lectures complémentaires

Ces règles sont données dans de nombreux livres, à la fois sur le calcul élémentaire et avancé, en mathématiques pures et appliquées. Ceux de cet article (en plus des références ci-dessus) peuvent être trouvés dans:

• Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3e édition) , S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, ISBN  978-0-07-154855-7 .
• The Cambridge Handbook of Physics Formulas , G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-57507-2 .
• Méthodes mathématiques pour la physique et l'ingénierie , KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-86153-3
• Manuel des fonctions mathématiques du NIST , FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert, CW Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-19225-5 .

Liens externes

Ressources de la bibliothèque sur les règles de différenciation

Ressources dans votre bibliothèque

• Calculatrice dérivée avec simplification des formules