Théorie des systèmes dynamiques - Dynamical systems theory

La théorie des systèmes dynamiques est un domaine des mathématiques utilisé pour décrire le comportement de systèmes dynamiques complexes , généralement en utilisant des équations différentielles ou des équations aux différences . Lorsque des équations différentielles sont utilisées, la théorie est appelée systèmes dynamiques continus . D'un point de vue physique, les systèmes dynamiques continus sont une généralisation de la mécanique classique , une généralisation où les équations du mouvement sont postulées directement et ne sont pas contraintes d'être des équations d'Euler-Lagrange d'un principe de moindre action. Lorsque des équations aux différences sont utilisées, la théorie est appelée systèmes dynamiques discrets . Lorsque la variable temporelle s'étend sur un ensemble discret sur certains intervalles et continu sur d'autres intervalles ou sur un ensemble temporel arbitraire tel qu'un ensemble de Cantor , on obtient des équations dynamiques sur des échelles de temps . Certaines situations peuvent également être modélisées par des opérateurs mixtes, comme les équations aux différences différentielles .

Cette théorie traite du comportement qualitatif à long terme des systèmes dynamiques et étudie la nature et, si possible, les solutions des équations du mouvement de systèmes qui sont souvent principalement de nature mécanique ou physique, comme les orbites planétaires et les comportement des circuits électroniques , ainsi que des systèmes qui se posent en biologie , en économie et ailleurs. Une grande partie de la recherche moderne se concentre sur l'étude des systèmes chaotiques .

Ce champ d'étude est aussi appelé seulement les systèmes dynamiques , la théorie des systèmes dynamiques mathématiques ou la théorie mathématique des systèmes dynamiques .

L' attracteur de Lorenz est un exemple de système dynamique non linéaire . L'étude de ce système a contribué à donner naissance à la théorie du chaos .

Aperçu

La théorie des systèmes dynamiques et la théorie du chaos traitent du comportement qualitatif à long terme des systèmes dynamiques . Ici, l'objectif n'est pas de trouver des solutions précises aux équations définissant le système dynamique (ce qui est souvent sans espoir), mais plutôt de répondre à des questions telles que « Le système va-t-il s'installer à un état stable à long terme, et si oui, sont les états stables possibles ?", ou "Le comportement à long terme du système dépend-il de son état initial ?"

Un objectif important est de décrire les points fixes, ou les états stationnaires d'un système dynamique donné ; ce sont des valeurs de la variable qui ne changent pas dans le temps. Certains de ces points fixes sont attractifs , ce qui signifie que si le système démarre dans un état proche, il converge vers le point fixe.

De même, on s'intéresse aux points périodiques , états du système qui se répètent après plusieurs pas de temps. Les points périodiques peuvent également être attrayants. Le théorème de Sharkovskii est un énoncé intéressant sur le nombre de points périodiques d'un système dynamique discret à une dimension.

Même les systèmes dynamiques non linéaires simples présentent souvent un comportement apparemment aléatoire qui a été appelé chaos . La branche des systèmes dynamiques qui traite de la définition claire et de l'investigation du chaos s'appelle la théorie du chaos .

Histoire

Le concept de théorie des systèmes dynamiques trouve ses origines dans la mécanique newtonienne . Là, comme dans d'autres disciplines des sciences naturelles et de l'ingénierie, la règle d'évolution des systèmes dynamiques est donnée implicitement par une relation qui ne donne l'état du système que dans un court laps de temps.

Avant l'avènement des machines à calcul rapide , la résolution d'un système dynamique nécessitait des techniques mathématiques sophistiquées et ne pouvait être accomplie que pour une petite classe de systèmes dynamiques.

Quelques excellentes présentations de la théorie mathématique des systèmes dynamiques incluent Beltrami (1990) , Luenberger (1979) , Padulo & Arbib (1974) , et Strogatz (1994) . erreur harvtxt : pas de cible : CITEREFBeltrami1990 ( aide )

notions

Systèmes dynamiques

Le concept de système dynamique est une formalisation mathématique pour toute « règle » fixe qui décrit la dépendance temporelle de la position d'un point dans son espace ambiant . Les exemples incluent les modèles mathématiques qui décrivent le balancement d'un pendule d'horloge, le débit d'eau dans un tuyau et le nombre de poissons chaque printemps dans un lac.

Un système dynamique a un état déterminé par une collection de nombres réels , ou plus généralement par un ensemble de points dans un espace d'état approprié . De petits changements dans l'état du système correspondent à de petits changements dans les nombres. Les nombres sont aussi les coordonnées d'un espace géométrique, une variété . La règle d'évolution du système dynamique est une règle fixe qui décrit les états futurs qui découlent de l'état actuel. La règle peut être déterministe (pour un intervalle de temps donné, un état futur peut être prédit avec précision étant donné l'état actuel) ou stochastique (l'évolution de l'état ne peut être prédite qu'avec une certaine probabilité).

Dynamicisme

Le dynamicisme , également appelé hypothèse dynamique ou hypothèse dynamique en sciences cognitives ou cognition dynamique , est une nouvelle approche en sciences cognitives illustrée par les travaux du philosophe Tim van Gelder . Il soutient que les équations différentielles sont plus adaptées à la modélisation de la cognition que les modèles informatiques plus traditionnels .

Système non linéaire

En mathématiques , un système non linéaire est un système qui n'est pas linéaire , c'est-à-dire un système qui ne satisfait pas au principe de superposition . Moins techniquement, un système non linéaire est un problème pour lequel la ou les variables à résoudre ne peuvent pas être écrites sous la forme d'une somme linéaire de composants indépendants. Un système non homogène , qui est linéaire en dehors de la présence d'une fonction des variables indépendantes , est non linéaire selon une définition stricte, mais de tels systèmes sont généralement étudiés à côté de systèmes linéaires, car ils peuvent être transformés en un système linéaire tant qu'un solution particulière est connue.

Domaines connexes

Dynamique arithmétique

La dynamique arithmétique est un domaine apparu dans les années 1990 qui fusionne deux domaines des mathématiques, les systèmes dynamiques et la théorie des nombres . Classiquement, la dynamique discrète fait référence à l'étude de l' itération d'auto-cartes du plan complexe ou de la droite réelle . La dynamique arithmétique est l'étude des propriétés théoriques des nombres de points entiers, rationnels, p- adiques et/ou algébriques sous l'application répétée d'une fonction polynomiale ou rationnelle .

Théorie du chaos

La théorie du chaos décrit le comportement de certains systèmes dynamiques - c'est-à-dire des systèmes dont l'état évolue avec le temps - qui peuvent présenter une dynamique très sensible aux conditions initiales (communément appelée effet papillon ). Du fait de cette sensibilité, qui se manifeste par une croissance exponentielle des perturbations dans les conditions initiales, le comportement des systèmes chaotiques apparaît aléatoire . Cela se produit même si ces systèmes sont déterministes , ce qui signifie que leur dynamique future est entièrement définie par leurs conditions initiales, sans éléments aléatoires impliqués. Ce comportement est connu sous le nom de chaos déterministe, ou simplement chaos .

Systèmes complexes

Les systèmes complexes sont un domaine scientifique qui étudie les propriétés communes des systèmes considérés comme complexes dans la nature , la société et la science . On l'appelle aussi théorie des systèmes complexes , science de la complexité , étude des systèmes complexes et/ou sciences de la complexité . Les problèmes clés de tels systèmes sont les difficultés de leur modélisation formelle et de leur simulation . Dans cette perspective, dans différents contextes de recherche, des systèmes complexes sont définis sur la base de leurs différents attributs.

L'étude des systèmes complexes apporte une nouvelle vitalité à de nombreux domaines de la science où une stratégie réductionniste plus typique a échoué. Systèmes complexes est donc souvent utilisé comme un terme général englobant une approche de recherche de problèmes dans de nombreuses disciplines diverses, notamment les neurosciences , les sciences sociales , la météorologie , la chimie , la physique , l' informatique , la psychologie , la vie artificielle , le calcul évolutif , l' économie , la prévision des tremblements de terre, la biologie moléculaire. et des enquêtes sur la nature des cellules vivantes elles- mêmes.

Théorie du contrôle

La théorie du contrôle est une branche interdisciplinaire de l' ingénierie et des mathématiques , elle traite en partie de l'influence sur le comportement des systèmes dynamiques .

Théorie ergodique

La théorie ergodique est une branche des mathématiques qui étudie les systèmes dynamiques avec une mesure invariante et les problèmes connexes. Son développement initial a été motivé par des problèmes de physique statistique .

Analyse fonctionnelle

L'analyse fonctionnelle est la branche des mathématiques , et plus particulièrement de l' analyse , qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels et des opérateurs agissant sur eux. Elle a ses racines historiques dans l'étude des espaces fonctionnels , en particulier des transformations de fonctions , telles que la transformée de Fourier , ainsi que dans l'étude des équations différentielles et intégrales . Cet usage du mot fonctionnel remonte au calcul des variations , impliquant une fonction dont l'argument est une fonction. Son utilisation en général a été attribuée au mathématicien et physicien Vito Volterra et sa fondation est largement attribuée au mathématicien Stefan Banach .

Systèmes dynamiques de graphes

Le concept de systèmes dynamiques de graphes (GDS) peut être utilisé pour capturer un large éventail de processus se déroulant sur des graphes ou des réseaux. Un thème majeur dans l'analyse mathématique et informatique des systèmes dynamiques de graphes est de relier leurs propriétés structurelles (par exemple la connectivité du réseau) et la dynamique globale qui en résulte.

Systèmes dynamiques projetés

Les systèmes dynamiques projetés sont une théorie mathématique qui étudie le comportement des systèmes dynamiques où les solutions sont restreintes à un ensemble de contraintes. La discipline partage des connexions et des applications avec le monde statique des problèmes d' optimisation et d' équilibre et le monde dynamique des équations différentielles ordinaires . Un système dynamique projeté est donné par le flux à l'équation différentielle projetée.

Dynamique symbolique

La dynamique symbolique est la pratique de la modélisation d'un système dynamique topologique ou lisse par un espace discret constitué de séquences infinies de symboles abstraits, dont chacun correspond à un état du système, avec la dynamique (évolution) donnée par l' opérateur de décalage .

Dynamique du système

La dynamique des systèmes est une approche pour comprendre le comportement des systèmes au fil du temps. Il traite des boucles de rétroaction internes et des retards qui affectent le comportement et l'état de l'ensemble du système. Ce qui rend l'utilisation de la dynamique des systèmes différente des autres approches d'étude des systèmes, c'est l'utilisation de boucles de rétroaction , de stocks et de flux . Ces éléments aident à décrire comment même des systèmes apparemment simples affichent une non-linéarité déconcertante .

Dynamique topologique

La dynamique topologique est une branche de la théorie des systèmes dynamiques dans laquelle les propriétés qualitatives et asymptotiques des systèmes dynamiques sont étudiées du point de vue de la topologie générale .

Applications

En biomécanique

En biomécanique du sport , la théorie des systèmes dynamiques a émergé dans les sciences du mouvement comme un cadre viable pour la modélisation de la performance et de l'efficacité athlétiques. Du point de vue des systèmes dynamiques, le système de mouvement humain est un réseau très complexe de sous-systèmes co-dépendants (par exemple, respiratoire, circulatoire, nerveux, squelettique, perceptuel) qui sont composés d'un grand nombre de composants en interaction (par exemple, les cellules sanguines, l'oxygène molécules, tissu musculaire, enzymes métaboliques, tissu conjonctif et os). Dans la théorie des systèmes dynamiques, les modèles de mouvement émergent à travers des processus génériques d'auto-organisation trouvés dans les systèmes physiques et biologiques. Il n'y a aucune validation de recherche d'aucune des affirmations associées à l'application conceptuelle de ce cadre.

En sciences cognitives

La théorie des systèmes dynamiques a été appliquée dans le domaine des neurosciences et du développement cognitif , en particulier dans les théories néo-piagétiennes du développement cognitif . C'est la croyance que le développement cognitif est mieux représenté par des théories physiques plutôt que par des théories basées sur la syntaxe et l' IA . Il croyait également que les équations différentielles sont l'outil le plus approprié pour modéliser le comportement humain. Ces équations sont interprétées pour représenter la trajectoire cognitive d'un agent à travers l'espace d'état . En d'autres termes, les dynamicists soutiennent que la psychologie devrait être (ou est) la description (via des équations différentielles) des cognitions et des comportements d'un agent sous certaines pressions environnementales et internes. Le langage de la théorie du chaos est également fréquemment adopté.

Dans celui-ci, l'esprit de l'apprenant atteint un état de déséquilibre où les anciens schémas se sont effondrés. C'est la phase de transition du développement cognitif. L'auto-organisation (la création spontanée de formes cohérentes) s'installe alors que les niveaux d'activité se relient les uns aux autres. Les structures macroscopiques et microscopiques nouvellement formées se soutiennent mutuellement, accélérant le processus. Ces liens forment la structure d'un nouvel état d'ordre dans l'esprit à travers un processus appelé festonnage (l'accumulation et l'effondrement répétés d'une performance complexe.) Ce nouvel état nouveau est progressif, discret, idiosyncratique et imprévisible.

La théorie des systèmes dynamiques a récemment été utilisée pour expliquer un problème longtemps sans réponse dans le développement de l'enfant appelé l' erreur A-not-B .

En développement de la langue seconde

L'application de la théorie des systèmes dynamiques pour étudier l' acquisition d'une langue seconde est attribuée à Diane Larsen-Freeman qui a publié un article en 1997 dans lequel elle affirmait que l' acquisition d'une langue seconde devrait être considérée comme un processus de développement qui inclut l' attrition de la langue ainsi que l'acquisition de la langue. Dans son article, elle a affirmé que le langage devrait être considéré comme un système dynamique qui est dynamique, complexe, non linéaire, chaotique, imprévisible, sensible aux conditions initiales, ouvert, auto-organisé, sensible au feedback et adaptatif.

Voir également

Sujets connexes

Scientifiques associés

Remarques

Lectures complémentaires

• Abraham, Frédéric D. ; Abraham, Ralph ; Shaw, Christopher D. (1990). Une introduction visuelle à la théorie des systèmes dynamiques pour la psychologie . Presse aérienne. ISBN 978-0-942344-09-7. OCLC  24345312 .
• Beltrami, Edward J. (1998). Mathématiques pour la modélisation dynamique (2e éd.). Presse académique. ISBN 978-0-12-085566-7. OCLC  36713294 .
• Hajek, Otomar (1968). Systèmes dynamiques dans le plan . Presse académique. OCLC  343328 .
• Luenberger, David G. (1979). Introduction aux systèmes dynamiques : théorie, modèles et applications . Wiley. ISBN 978-0-471-02594-8. OCLC  4195122 .
• Michel, Antoine ; Kaining Wang ; Bo Hu (2001). Théorie qualitative des systèmes dynamiques . Taylor & François. ISBN 978-0-8247-0526-8. OCLC  45873628 .
• Padulo, Louis ; Arbib, Michael A. (1974). Théorie des systèmes : une approche unifiée de l'espace d'état pour les systèmes continus et discrets . Saunders. ISBN 9780721670355. OCLC  947600 .
• Strogatz, Steven H. (1994). Dynamique non linéaire et chaos : avec des applications à la physique, à la biologie, à la chimie et à l'ingénierie . Addison Wesley. ISBN 978-0-7382-0453-6. OCLC  49839504 .

Liens externes

• Entrée de l'Encyclopédie des systèmes dynamiques des sciences cognitives.
• Définition du système dynamique dans MathWorld.
• DSWeb Dynamical Systems Magazine