Histoire des logarithmes - History of logarithms

Page de titre du Logarithmorum de John Napier de 1620

L' histoire des logarithmes est l'histoire d'une correspondance (en termes modernes, un isomorphisme de groupe ) entre la multiplication sur les nombres réels positifs et l'addition sur la droite des nombres réels qui a été formalisée dans l'Europe du XVIIe siècle et a été largement utilisée pour simplifier le calcul jusqu'à l'avènement de l'ordinateur numérique. Les logarithmes napieriens ont été publiés pour la première fois en 1614. Henry Briggs a introduit des logarithmes communs (base 10) , qui étaient plus faciles à utiliser. Des tables de logarithmes ont été publiées sous de nombreuses formes pendant quatre siècles. L'idée des logarithmes a également été utilisée pour construire la règle à calcul , qui est devenue omniprésente en science et en ingénierie jusqu'aux années 1970. Une percée générant le logarithme népérien était le résultat d'une recherche d'une expression d' aire par rapport à une hyperbole rectangulaire et nécessitait l'assimilation d'une nouvelle fonction dans les mathématiques standard.

Logarithme commun

Canon logarithmorum

Comme le log commun de dix est un, de cent est deux et mille est trois, le concept de logarithmes communs est très proche du système de nombre décimal-positionnel. La bûche commune aurait la base 10, mais la base 10 000 est ancienne et toujours courante en Asie de l'Est . Dans son livre The Sand Reckoner , Archimède a utilisé la myriade comme base d'un système numérique conçu pour compter les grains de sable dans l'univers. Comme cela a été noté en 2000 :

Dans l'antiquité, Archimède a donné une recette pour réduire la multiplication à l'addition en utilisant la progression géométrique des nombres et en les reliant à une progression arithmétique .

En 1616, Henry Briggs rendit visite à John Napier à Édimbourg afin de discuter de la modification suggérée des logarithmes de Napier. L'année suivante, il s'est de nouveau rendu dans un but similaire. Au cours de ces conférences, la modification proposée par Briggs a été acceptée, et à son retour de sa deuxième visite à Édimbourg, en 1617, il a publié la première chiliade de ses logarithmes.

En 1624, Briggs publia son Arithmetica Logarithmica , in folio, un ouvrage contenant les logarithmes de trente mille nombres naturels à quatorze décimales (1-20 000 et 90 001 à 100 000). Ce tableau a ensuite été étendu par Adriaan Vlacq , mais à 10 places, et par Alexander John Thompson à 20 places en 1952.

Briggs a été l'un des premiers à utiliser des méthodes aux différences finies pour calculer des tables de fonctions. Il a également complété une table des sinus et tangentes logarithmiques pour la centième partie de chaque degré à quatorze décimales, avec une table des sinus naturels à quinze places et les tangentes et sécantes pour les mêmes à dix places, qui ont tous été imprimés à Gouda en 1631 et publié en 1633 sous le titre de Trigonometria Britannica ; ce travail était probablement un successeur de son 1617 Logarithmorum Chilias Prima ("Les premiers mille logarithmes"), qui donnait un bref compte rendu des logarithmes et une longue table des 1000 premiers entiers calculés à la 14e décimale.

Un algorithme naturel

Opus géométrique posthume , 1668

En 1649, Alphonse Antonio de Sarasa , ancien élève de Grégoire de Saint-Vincent , rattache les logarithmes à la quadrature de l'hyperbole, en faisant remarquer que l' aire A ( t ) sous l'hyperbole de x = 1 à x = t satisfait

${\style d'affichage A(tu)=A(t)+A(u).}$

Au début, la réaction au logarithme hyperbolique de Saint-Vincent était une continuation des études de quadrature comme chez Christiaan Huygens (1651) et James Gregory (1667). Par la suite, une industrie de fabrication de logarithmes est née sous le nom de "logaritmotechnia", le titre des œuvres de Nicholas Mercator (1668), Euclid Speidell (1688) et John Craig (1710)

En utilisant la série géométrique avec son rayon de convergence conditionnel , une série alternée appelée série de Mercator exprime la fonction logarithme sur l'intervalle (0,2). Puisque la série est négative en (0,1), la "surface sous l'hyperbole" doit y être considérée comme négative, donc une mesure signée , au lieu de surface purement positive, détermine le logarithme hyperbolique.

L'historien Tom Whiteside a décrit la transition vers la fonction analytique comme suit :

À la fin du XVIIe siècle, nous pouvons dire que bien plus qu'un appareil de calcul convenablement bien tabulé, la fonction logarithme, très semblable au modèle de l'aire de l'hyperbole, avait été acceptée en mathématiques. Lorsqu'au XVIIIe siècle, cette base géométrique fut abandonnée au profit d'une base entièrement analytique, aucune extension ou reformulation n'était nécessaire – le concept d'« hyperbole-aire » fut transformé sans douleur en « logarithme naturel ».

Leonard Euler a traité un logarithme comme un exposant d'un certain nombre appelé la base du logarithme. Il a noté que le nombre 2,71828, et son réciproque, fournissaient un point sur l'hyperbole xy = 1 tel qu'une aire d'une unité carrée se trouve sous l'hyperbole, à droite de (1,1) et au-dessus de l'asymptote de l'hyperbole. Il appela alors le logarithme, avec ce nombre comme base, le logarithme népérien .

Comme l'a noté Howard Eves , "L'une des anomalies dans l'histoire des mathématiques est le fait que les logarithmes ont été découverts avant que les exposants ne soient utilisés." Carl B. Boyer a écrit : « Euler a été parmi les premiers à traiter les logarithmes comme des exposants, de la manière maintenant si familière.

Pionniers des logarithmes

Prédécesseurs

Les Babyloniens ont peut-être inventé l' algorithme de multiplication par quart de carré entre 2000 et 1600 av . Ainsi, une telle table a servi un objectif similaire aux tables de logarithmes, qui permettent également de calculer la multiplication à l'aide d'additions et de recherches de table. Cependant, la méthode du quart de carré ne pourrait pas être utilisée pour la division sans une table supplémentaire de réciproques (ou la connaissance d'un algorithme suffisamment simple pour générer des réciproques ). De grandes tables de quarts de carré ont été utilisées pour simplifier la multiplication précise de grands nombres à partir de 1817 jusqu'à ce que cela soit remplacé par l'utilisation d'ordinateurs.

Le mathématicien indien Virasena a travaillé avec le concept d'ardhaccheda : le nombre de fois qu'un nombre de la forme 2n pouvait être divisé par deux. Pour les puissances exactes de 2 , cela équivaut au logarithme binaire, mais il diffère du logarithme des autres nombres. Il a décrit une formule de produit pour ce concept et a également introduit des concepts analogues pour la base 3 (trakacheda) et la base 4 (caturthacheda).

Michael Stifel a publié Arithmetica integra à Nuremberg en 1544, qui contient une table d'entiers et de puissances de 2 qui a été considérée comme une première version d'une table de logarithmes binaires .

Au XVIe et au début du XVIIe siècle, un algorithme appelé prosthaphérèse était utilisé pour approximer la multiplication et la division. Cela a utilisé l'identité trigonométrique

${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )]}$

ou similaire pour convertir les multiplications en additions et en recherches de table. Cependant, les logarithmes sont plus simples et nécessitent moins de travail. On peut montrer à l'aide de la formule d'Euler que les deux techniques sont liées.

Burgi

Le mathématicien suisse Jost Bürgi a construit une table de progressions qui peut être considérée comme une table d' antilogarithmes indépendamment de John Napier , dont la publication (1614) était connue à l'époque par Bürgi publiée à la demande de Johannes Kepler . On sait que Bürgi avait un moyen de simplifier les calculs vers 1588, mais ce moyen était très probablement l'utilisation de la prosthaphérèse, et non l'utilisation de sa table de progressions qui remonte probablement à environ 1600. En effet Wittich, qui était à Kassel à partir de 1584 à 1586, apporta avec lui la connaissance de la prosthaphérèse , méthode par laquelle les multiplications et divisions peuvent être remplacées par des additions et des soustractions de valeurs trigonométriques... Cette procédure aboutit au même que les logarithmes le feront quelques années plus tard.

Napier

John Napier (1550-1617), l'inventeur des logarithmes

La méthode des logarithmes a été publiquement proposée par John Napier en 1614, dans un livre intitulé Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Description de la merveilleuse règle des logarithmes ).

Johannes Kepler , qui a largement utilisé des tables de logarithmes pour compiler son Ephemeris et l'a donc dédié à Napier, a fait la remarque suivante :

... l'accent dans le calcul a conduit Justus Byrgius [Joost Bürgi] sur la voie de ces mêmes logarithmes bien des années avant l'apparition du système de Napier ; mais ... au lieu d'élever son enfant pour le bien public, il l'a abandonné à la naissance.

—  Johannes Kepler, Rudolphine Tables (1627)

Napier a imaginé un point P traversant un segment de droite P0 à Q. En partant de P0, avec une certaine vitesse initiale, P se déplace à une vitesse proportionnelle à sa distance à Q, ce qui fait que P n'atteint jamais Q. Napier a juxtaposé cette figure à celle de un point L se déplaçant le long d'un segment de droite non borné, partant de L0, et avec une vitesse constante égale à celle de la vitesse initiale du point P. Napier a défini la distance de L0 à L comme le logarithme de la distance de P à Q.

Par soustractions répétées, Napier a calculé (1 − 10 ⁻⁷ ) ^L pour L allant de 1 à 100. Le résultat pour L = 100 est d'environ 0,99999 = 1 − 10 ⁻⁵ . Napier a ensuite calculé les produits de ces nombres avec 10 ⁷ (1 − 10 ⁻⁵ ) ^L pour L de 1 à 50, et a fait de même avec 0,9998 (1 − 10 ⁻⁵ ) ²⁰ et 0,9 0,995 ²⁰ . Ces calculs, qui ont duré 20 ans, lui ont permis de donner, pour tout nombre N de 5 à 10 millions, le nombre L qui résout l'équation

${\displaystyle N=10^{7}(1-10^{-7})^{L}.}$

Napier a d'abord appelé L un « nombre artificiel », mais a ensuite introduit le mot « logarithme » pour désigner un nombre qui indique un rapport : λόγος ( logos ) signifiant proportion, et ἀριθμός ( arithmos ) signifiant nombre. En notation moderne, la relation avec les logarithmes naturels est :

${\displaystyle L=\log _{(1-10^{-7})}\left({\frac {N}{10^{7}}}\right)\approx 10^{7}\log _ {1/e}\left({\frac {N}{10^{7}}}\right)=-10^{7}\log _{e}\left({\frac {N}{10^ {7}}}\à droite),}$

où l'approximation très proche correspond à l'observation que

${\displaystyle (1-10^{-7})^{10^{7}}\environ {\frac {1}{e}}.}$

L'invention a été rapidement et largement acclamée. Les travaux de Bonaventura Cavalieri (Italie), Edmund Wingate (France), Xue Fengzuo (Chine), et Johannes Kepler de CHILIAS logarithmorum (Allemagne) a contribué à diffuser le concept plus loin.

Euler

Graphique de l'équation y = 1/ x . Ici, le nombre e d' Euler rend la zone ombrée égale à 1.

Vers 1730, Leonhard Euler définit la fonction exponentielle et le logarithme népérien par

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},\ \[6pt]\ln(x)&=\lim _{n\rightarrow \infty }n(x^{1/n}-1).\end{aligned}}}$

Dans son 1748 manuel Introduction à l'analyse de l'infini , Euler a publié l'approche maintenant standard de logarithmes via une fonction inverse : Dans le chapitre 6, « Sur exponentielles et logarithmes », il commence par une base constante a et discute de la fonction transcendantale Ensuite son inverse est le logarithme : ${\displaystyle y=a^{z}.}$

z = log _a y .

Tables de logarithmes

Une page de Henry Briggs ' 1617 Logarithmorum Chilias Prima montrant le logarithme en base 10 (commun) des nombres entiers 1 à 67 à quatorze décimales.

Partie d'une table des logarithmes communs du XXe siècle dans l'ouvrage de référence Abramowitz et Stegun .

Une page d'un tableau de logarithmes de fonctions trigonométriques du 2002 American Practical Navigator . Des colonnes de différences sont incluses pour faciliter l' interpolation .

Les tables mathématiques contenant des logarithmes communs (base 10) ont été largement utilisées dans les calculs avant l'avènement des ordinateurs et des calculatrices , non seulement parce que les logarithmes convertissent les problèmes de multiplication et de division en problèmes d'addition et de soustraction beaucoup plus faciles, mais pour une propriété supplémentaire qui est unique en base 10 et s'avère utile : tout nombre positif peut être exprimé comme le produit d'un nombre de l'intervalle [1,10) et d'une puissance entière de 10. Cela peut être envisagé comme le déplacement du séparateur décimal du nombre donné vers la à gauche donnant un exposant positif et à droite un exposant négatif de 10. Seuls les logarithmes de ces nombres normalisés (approximés par un certain nombre de chiffres), appelés mantisses , doivent être tabulés dans des listes avec une précision similaire (un nombre similaire de chiffres). Ces mantisses sont toutes positives et enfermées dans l'intervalle [0,1) . Le logarithme commun d'un nombre positif donné est alors obtenu en ajoutant sa mantisse au logarithme commun du deuxième facteur. Ce logarithme est appelé la caractéristique du nombre donné. Étant donné que le logarithme commun d'une puissance de 10 est exactement l'exposant, la caractéristique est un nombre entier, ce qui rend le logarithme commun exceptionnellement utile pour traiter les nombres décimaux. Pour les nombres inférieurs à 1, la caractéristique rend le logarithme résultant négatif, comme requis. Voir le logarithme commun pour plus de détails sur l'utilisation des caractéristiques et des mantisses.

Les premières tables

Michael Stifel a publié Arithmetica integra à Nuremberg en 1544 qui contient une table d'entiers et de puissances de 2 qui a été considérée comme une première version d'une table logarithmique.

La méthode des logarithmes a été publiquement proposée par John Napier en 1614, dans un livre intitulé Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Description de la merveilleuse règle des logarithmes ). Le livre contenait cinquante-sept pages d'explications et quatre-vingt-dix pages de tableaux liés aux logarithmes naturels . Le mathématicien anglais Henry Briggs a visité Napier en 1615 et a proposé une remise à l'échelle des logarithmes de Napier pour former ce qui est maintenant connu sous le nom de logarithmes communs ou de base 10. Napier a délégué à Briggs le calcul d'une table révisée, et ils ont ensuite publié, en 1617, Logarithmorum Chilias Prima ("Les mille premiers logarithmes"), qui donnait un bref compte rendu des logarithmes et une table pour les 1000 premiers entiers calculés jusqu'au 14 décimale.

En 1624, son Arithmetica Logarithmica , parut in folio, un ouvrage contenant les logarithmes de trente mille nombres naturels à quatorze décimales (1-20 000 et 90 001 à 100 000). Ce tableau a ensuite été étendu par Adriaan Vlacq , mais à 10 places, et par Alexander John Thompson à 20 places en 1952.

Briggs a été l'un des premiers à utiliser des méthodes aux différences finies pour calculer des tables de fonctions.

La table de Vlacq s'est avérée plus tard contenir 603 erreurs, mais "cela ne peut pas être considéré comme un grand nombre, quand on considère que la table était le résultat d'un calcul original, et que plus de 2.100.000 chiffres imprimés sont susceptibles d'erreur." Une édition de l'ouvrage de Vlacq, contenant de nombreuses corrections, fut publiée à Leipzig en 1794 sous le titre Thesaurus Logarithmorum Completus par Jurij Vega .

La table à sept places de François Callet ( Paris , 1795), au lieu de s'arrêter à 100 000, a donné les logarithmes à huit places des nombres compris entre 100 000 et 108 000, afin de diminuer les erreurs d' interpolation , qui étaient les plus importantes dans la première partie. du tableau, et cet ajout était généralement inclus dans les tableaux à sept places. La seule extension publiée importante de la table de Vlacq a été faite par Edward Sang en 1871, dont la table contenait les logarithmes à sept positions de tous les nombres inférieurs à 200 000.

Briggs et Vlacq ont également publié des tables originales des logarithmes des fonctions trigonométriques . Briggs a complété une table des sinus logarithmiques et des tangentes logarithmiques pour la centième partie de chaque degré à quatorze décimales, avec une table des sinus naturels à quinze places et les tangentes et sécantes pour la même à dix places, qui ont tous été imprimés à Gouda en 1631 et publié en 1633 sous le titre de Trigonometria Britannica . Les tables logarithmes des fonctions trigonométriques simplifient les calculs manuels où une fonction d'un angle doit être multipliée par un autre nombre, comme c'est souvent le cas.

Outre les tables mentionnées ci-dessus, une grande collection, appelée Tables du Cadastre, a été constituée sous la direction de Gaspard de Prony , par un calcul original, sous les auspices du gouvernement républicain français des années 1790. Cet ouvrage, qui contenait les logarithmes de tous les nombres jusqu'à 100 000 à dix-neuf places, et des nombres entre 100 000 et 200 000 à vingt-quatre places, n'existe qu'en manuscrit, « en dix-sept énormes folios », à l'Observatoire de Paris. Il a été commencé en 1792, et « l'ensemble des calculs, qui pour assurer une plus grande précision ont été effectués en double, et les deux manuscrits ensuite collationnés avec soin, ont été achevés dans le court espace de deux ans. » L' interpolation cubique pourrait être utilisée pour trouver le logarithme de n'importe quel nombre avec une précision similaire.

Pour différents besoins, des tables de logarithmes allant des petits manuels aux éditions en plusieurs volumes ont été compilées :

Règle à calcul

William Oughtred (1575-1660), inventeur de la règle à calcul circulaire.

Une collection de règles à calcul au Museum of the History of Science , Oxford

La règle à calcul a été inventée vers 1620-1630, peu de temps après la publication par John Napier du concept de logarithme . Edmund Gunter d'Oxford a développé un appareil de calcul avec une seule échelle logarithmique ; avec des outils de mesure supplémentaires, il pourrait être utilisé pour multiplier et diviser. La première description de cette échelle a été publiée à Paris en 1624 par Edmund Wingate (c.1593-1656), un mathématicien anglais, dans un livre intitulé L'usage de la reigle de proportion en l'arithmetique & geometrie . Le livre contient une double échelle, logarithmique d'un côté, tabulaire de l'autre. En 1630, William Oughtred de Cambridge a inventé une règle à calcul circulaire et, en 1632, a combiné deux règles Gunter portables pour créer un appareil qui est reconnaissable à la règle à calcul moderne. Comme son contemporain à Cambridge, Isaac Newton , Oughtred a enseigné ses idées en privé à ses étudiants. Aussi comme Newton, il est devenu impliqué dans une controverse au vitriol sur la priorité, avec son ancien étudiant Richard Delamain et les prétentions prioritaires de Wingate. Les idées d'Oughtred n'ont été rendues publiques que dans les publications de son élève William Forster en 1632 et 1653.

En 1677, Henry Coggeshall a créé une règle pliante de deux pieds pour la mesure du bois, appelée règle à calcul Coggeshall , élargissant l'utilisation de la règle à calcul au-delà de l'enquête mathématique.

En 1722, Warner a introduit les échelles à deux et trois décennies, et en 1755 Everard a inclus une échelle inversée ; une règle à calcul contenant toutes ces échelles est généralement appelée règle « polyphasée ».

En 1815, Peter Mark Roget a inventé la règle à calcul log log, qui comprenait une échelle affichant le logarithme du logarithme. Cela a permis à l'utilisateur d'effectuer directement des calculs impliquant des racines et des exposants. Ceci était particulièrement utile pour les puissances fractionnaires.

En 1821, Nathaniel Bowditch , décrit dans l' American Practical Navigator une « règle glissante » qui contenait des échelles de fonctions trigonométriques sur la partie fixe et une ligne de log-sine et log-tans sur le curseur utilisé pour résoudre les problèmes de navigation.

En 1845, Paul Cameron de Glasgow a introduit une règle à calcul nautique capable de répondre aux questions de navigation, y compris l' ascension droite et la déclinaison du soleil et des étoiles principales.

Forme moderne

Ingénieur à l'aide d'une règle à calcul , avec calculatrice mécanique en arrière-plan, milieu du 20e siècle

Une forme plus moderne de règle à calcul a été créée en 1859 par le lieutenant d'artillerie français Amédée Mannheim , « qui a eu la chance de faire fabriquer sa règle par une entreprise de renommée nationale et de la faire adopter par l'artillerie française ». C'est à cette époque que l' ingénierie est devenue une profession reconnue, ce qui a entraîné une utilisation généralisée des règles à calcul en Europe, mais pas aux États-Unis. Là, la règle cylindrique d'Edwin Thacher s'est imposée après 1881. La règle duplex a été inventée par William Cox en 1891 et a été produite par Keuffel et Esser Co. de New York.

Les références

Sources originales

• Henry Briggs (1624) Arithmetica Logarithmica
• Grégoire de Saint-Vincent (1647) Opus Geometricum Quadraturae Circuli et Sectionum Coni
• Christiaan Huygens (1651) Theoremata de quadratura hyperboles, ellipsis et circuli , in Oeuvres Complètes , Tome XI, lien de Internet Archive .
• James Gregory (1667) Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura , Padoue : Patavii, via Internet Archive
• William Brouncker (1667) The Squaring of the Hyperbola , Philosophical Transactions of the Royal Society of London , édition abrégée 1809, v. i, pp 233-6, link form Biodiversity Heritage Library .
• Nicholas Mercator (1668) Logarithmitechnia , Londres

Sources secondaires

• Frances Maseres (1791) Scriptores Logarithmici, ou une collection de plusieurs tracts curieux sur la nature et la construction des logarithmes , lien de Google Books .
• Karl Bopp (1907) "Die Kegelschnitte der Gregorius a St. Vincentio", Abhandlungen zum Geschichte der mathematische Wissenschaft , XX Heft.
• Florian Cajori (1913) "History of the exponentielle and logarithm concepts", American Mathematical Monthly 20 : pages 5 à 14 , pages 35 à 47 , pages 75 à 84 , pages 107 à 117 , pages 148 à 151 , pages 173 à 182 , pages 205 à 210 , liens de Jstor
• George A. Gibson (1922) "Le travail mathématique de James Gregory", Actes de la Edinburgh Mathematical Society 41 : 2 à 25 & (deuxième série) 1 : 1 à 18.
• Christoph J. Scriba (1983) "La double séquence convergente de Gregory : un nouveau regard sur la controverse entre Huygens et Gregory sur la quadrature 'analytique' du cercle", Historia Mathematica 10 : 274 à 85.
• RC Pierce (1977) "Une brève histoire du logarithme", Two-Year College Mathematics Journal 8 (1):22-6.
• KM Clark (2012) « Priorité, découverte parallèle et prééminence : Napier, Burgi and the early history of the logarithm relation », Revue d'histoire de Mathématique 18(2) : 223-70.

Liens externes

• Rafael Villareal-Calderon (2008) Chopping Logs: A Look at the History and Uses of Logs , The Montana Mathematical Enthusiast 5(2,3): 237 to 44, link from University of Montana
• Martin Flashman L'histoire des logarithmes de l'Université d'État de Humboldt