Produit (mathématiques) - Product (mathematics)

Opérations arithmétiques v t e

Ajout (+) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{term}}\,+\,{\text{term}}\\\scriptstyle {\text{summand}}\,+\ ,{\text{summand}}\\\scriptstyle {\text{addend}}\,+\,{\text{addend}}\\\scriptstyle {\text{augen}}\,+\,{\text {addend}}\end{matrice}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{sum}}}$ Soustraction (−) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{term}}\,-\,{\text{term}}\\\scriptstyle {\text{minuend}}\,-\ ,{\text{subtrahend}}\end{matrice}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{différence}}}$ Multiplication (×) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{factor}}\,\times \,{\text{factor}}\\\scriptstyle {\text{multiplier}}\,\ fois \,{\text{multiplicand}}\end{matrice}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{product}}}$ Division (÷) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{dividend}}}{\scriptstyle {\text{divisor}}}}\\\scriptstyle {\text{ }}\\\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{numérateur}}}{\scriptstyle {\text{dénominateur}}}}\end{matrice}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}\scriptstyle {\text{fraction}}\\\scriptstyle {\text{quotient}}\\\scriptstyle {\text{ratio}}\end{matrix}}}$ Exponentiation ${\displaystyle \scriptstyle {\text{base}}^{\text{exposant}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{power}}}$ racine n ième (√) ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{\text{degré}}]{\scriptstyle {\text{radicand}}}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{root}}}$ Logarithme (log) ${\displaystyle \scriptstyle \log _{\text{base}}({\text{anti-logarithme}})\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{logarithme}}}$

En mathématiques , un produit est le résultat d'une multiplication , ou une expression qui identifie les facteurs à multiplier. Par exemple, 30 est le produit de 6 et 5 (le résultat de la multiplication) et est le produit de et (indiquant que les deux facteurs doivent être multipliés ensemble). ${\style d'affichage x\cdot (2+x)}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage (2+x)}$

L'ordre dans lequel les nombres réels ou complexes sont multipliés n'a aucune incidence sur le produit ; c'est ce qu'on appelle la loi commutative de multiplication. Lorsque des matrices ou des membres de diverses autres algèbres associatives sont multipliés, le produit dépend généralement de l'ordre des facteurs. La multiplication matricielle , par exemple, est non commutative, tout comme la multiplication dans d'autres algèbres en général.

Il existe de nombreux types de produits en mathématiques : en plus de pouvoir multiplier uniquement des nombres, des polynômes ou des matrices, on peut également définir des produits sur de nombreuses structures algébriques différentes .

Produit de deux nombres

Produit de deux nombres naturels

Placer plusieurs pierres dans un motif rectangulaire avec des rangées et des colonnes donne ${\style d'affichage r}$${\style d'affichage s}$

${\displaystyle r\cdot s=\sum _{i=1}^{s}r=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{s{\text{ times}}}=\sum _{j =1}^{r}s=\underbrace {s+s+\cdots +s} _{r{\text{ times}}}}$

des pierres.

Produit de deux entiers

Les nombres entiers autorisent les nombres positifs et négatifs. Leur produit est déterminé par le produit de leurs montants positifs, combiné avec le signe dérivé de la règle suivante :

${\displaystyle {\begin{array}{|c|cc|}\hline \cdot &-&+\\\hline -&+&-\\+&-&+\\\hline \end{array}} }$

(Cette règle est une conséquence nécessaire de la distributivité exigeante de la multiplication sur l'addition, et n'est pas une règle supplémentaire .)

En mots, on a :

• Moins multiplié par Moins donne Plus
• Moins fois Plus donne Moins
• Plus fois Minus donne Minus
• Plus fois Plus donne Plus

Produit de deux fractions

Deux fractions peuvent être multipliées en multipliant leurs numérateurs et dénominateurs :

${\displaystyle {\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z'}{n'}}={\frac {z\cdot z'}{n\cdot n'}}}$

Produit de deux nombres réels

Pour une définition rigoureuse du produit de deux nombres réels voir Construction des nombres réels .

Formules

Produit de deux nombres complexes

Deux nombres complexes peuvent être multipliés par la loi de distribution et le fait que , comme suit : ${\style d'affichage i^{2}=-1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b\,i)\cdot (c+d\,i)&=a\cdot c+a\cdot d\,i+b\cdot c\,i+ b\cdot d\cdot i^{2}\\&=(a\cdot cb\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,i\end{aligned}}}$

Signification géométrique de la multiplication complexe

Les nombres complexes peuvent s'écrire en coordonnées polaires :

${\displaystyle a+b\,i=r\cdot (\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))=r\cdot e^{i\varphi }}$

Par ailleurs,

${\displaystyle c+d\,i=s\cdot (\cos(\psi )+i\sin(\psi ))=s\cdot e^{i\psi },}$

dont on obtient

${\displaystyle (a\cdot cb\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i=r\cdot s\cdot e^{i(\varphi +\psi )}.}$

La signification géométrique est que les grandeurs sont multipliées et les arguments sont ajoutés.

Produit de deux quaternions

Le produit de deux quaternions peut être trouvé dans l'article sur les quaternions . Notez, dans ce cas, que et sont en général différents. ${\displaystyle a\cdot b}$${\displaystyle b\cdot a}$

Produit d'une séquence

L'opérateur produit pour le produit d'une séquence est désigné par la lettre grecque majuscule pi Π (par analogie avec l'utilisation de la majuscule Sigma Σ comme symbole de sommation ). Par exemple, l'expression est une autre façon d'écrire . ${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{6}i^{2}}$${\displaystyle 1\cdot 4\cdot 9\cdot 16\cdot 25\cdot 36}$

Le produit d'une séquence constituée d'un seul nombre n'est que ce nombre lui-même ; le produit d'aucun facteur est connu sous le nom de produit vide et est égal à 1.

Anneaux commutatifs

Les anneaux commutatifs ont une opération de produit.

Classes de résidus d'entiers

Des classes de résidus dans les anneaux peuvent être ajoutées : ${\displaystyle \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }$

${\displaystyle (a+N\mathbb {Z} )+(b+N\mathbb {Z} )=a+b+N\mathbb {Z} }$

et multiplié :

${\displaystyle (a+N\mathbb {Z} )\cdot (b+N\mathbb {Z} )=a\cdot b+N\mathbb {Z} }$

Convolution

Deux fonctions des réels à lui-même peuvent être multipliées d'une autre manière, appelée la convolution .

Si

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|\,\mathrm {d} t<\infty \qquad {\mbox{and}}\qquad \int \limits _{-\infty }^{\infty }|g(t)|\,\mathrm {d} t<\infty ,}$

alors l'intégrale

${\displaystyle (f*g)(t)\;:=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cdot g(t-\tau )\,\mathrm {d } \tau }$

est bien défini et s'appelle la convolution.

Sous la transformée de Fourier , la convolution devient une multiplication de fonctions point par point.

Anneaux polynomiaux

Le produit de deux polynômes est donné par :

${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{m}b_{j }X^{j}\right)=\somme _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}}$

avec

${\displaystyle c_{k}=\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}}$

Produits en algèbre linéaire

Il existe de nombreux types de produits en algèbre linéaire. Certains d' entre eux ont des noms similaires (confusément produit extérieur , produit extérieur ) avec des significations très différentes, tandis que d' autres ont des noms très différents (produit externe, tenseur produit, produit Kronecker) et pourtant transmettre essentiellement la même idée. Un bref aperçu de ceux-ci est donné dans les sections suivantes.

Multiplication scalaire

Par la définition même d'un espace vectoriel, on peut former le produit de n'importe quel scalaire avec n'importe quel vecteur, donnant une carte . ${\displaystyle \mathbb {R} \times V\rightarrow V}$

Produit scalaire

Un produit scalaire est une carte bilinéaire :

${\displaystyle \cdot :V\times V\rightarrow \mathbb {R} }$

aux conditions suivantes, que pour tous . ${\displaystyle v\cdot v>0}$${\displaystyle 0\not =v\in V}$

A partir du produit scalaire, on peut définir une norme en laissant . ${\displaystyle \|v\|:={\sqrt {v\cdot v}}}$

Le produit scalaire permet également de définir un angle entre deux vecteurs :

${\displaystyle \cos \angle (v,w)={\frac {v\cdot w}{\|v\|\cdot \|w\|}}}$

Dans l' espace euclidien de dimension, le produit scalaire standard (appelé le produit scalaire ) est donné par: ${\style d'affichage n}$

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\,\beta _{i}}$

Produit croisé dans l'espace tridimensionnel

Le produit vectoriel de deux vecteurs en 3 dimensions est un vecteur perpendiculaire aux deux facteurs, de longueur égale à l'aire du parallélogramme couvert par les deux facteurs.

Le produit vectoriel peut également être exprimé comme le déterminant formel :

${\displaystyle \mathbf {u\times v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\ \v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\end{vmatrix}}}$

Composition d'applications linéaires

Une application linéaire peut être définie comme une fonction f entre deux espaces vectoriels V et W avec le champ sous-jacent F , satisfaisant

${\displaystyle f(t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2})=t_{1}f(x_{1})+t_{2}f(x_{2}),\forall x_{1},x_{2}\in V,\forall t_{1},t_{2}\in \mathbb {F} .}$

Si l'on ne considère que des espaces vectoriels de dimension finie, alors

${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f\left(v_{i}\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)=v_{i}f\left(\mathbf {b_{V }} ^{i}\right)={f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j},}$

dans laquelle b _V et b _W désignent les bases de V et W , et v _i désigne la composante de v sur b _V ⁱ , et la convention de sommation d'Einstein est appliquée.

Considérons maintenant la composition de deux applications linéaires entre des espaces vectoriels de dimension finie. Laissez l'application linéaire f mapper V à W , et laissez l'application linéaire g mapper W à U . On peut alors obtenir

${\displaystyle g\circ f(\mathbf {v} )=g\left({f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j}\right)= {g^{j}}_{k}{f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{U}} ^{k}.}$

Ou sous forme matricielle :

${\displaystyle g\circ f(\mathbf {v} )=\mathbf {G} \mathbf {F} \mathbf {v} ,}$

dans laquelle l' élément i -ligne, j -colonne de F , noté F _ij , est f ^j _i , et G _ij =g ^j _i .

La composition de plus de deux applications linéaires peut être représentée de manière similaire par une chaîne de multiplication matricielle.

Produit de deux matrices

Étant donné deux matrices

${\displaystyle A=(a_{i,j})_{i=1\ldots s;j=1\ldots r}\in \mathbb {R} ^{s\times r}}$ et ${\displaystyle B=(b_{j,k})_{j=1\ldots r;k=1\ldots t}\in \mathbb {R} ^{r\times t}}$

leur produit est donné par

${\displaystyle B\cdot A=\left(\sum _{j=1}^{r}a_{i,j}\cdot b_{j,k}\right)_{i=1\ldots s;k =1\ldots t}\;\in ​​\mathbb {R} ^{s\times t}}$

Composition de fonctions linéaires comme produit matriciel

Il existe une relation entre la composition de fonctions linéaires et le produit de deux matrices. Pour voir cela, soit r = dim(U), s = dim(V) et t = dim(W) les dimensions (finies) des espaces vectoriels U, V et W. Soit une base de U, soit une base de V et une base de W. En fonction de cette base, soit la matrice représentant f : U → V et la matrice représentant g : V → W. Alors ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{u_{1},\ldots ,u_{r}\}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}=\{v_{1},\ldots ,v_{s}\}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}=\{w_{1},\ldots ,w_{t}\}}$${\displaystyle A=M_{\mathcal {V}}^{\mathcal {U}}(f)\in \mathbb {R} ^{s\times r}}$${\displaystyle B=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {V}}(g)\in \mathbb {R} ^{r\times t}}$

${\displaystyle B\cdot A=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {U}}(g\circ f)\in \mathbb {R} ^{s\times t}}$

est la matrice représentant . ${\displaystyle g\circ f:U\rightarrow W}$

Autrement dit : le produit matriciel est la description en coordonnées de la composition des fonctions linéaires.

Produit tensoriel des espaces vectoriels

Étant donné deux espaces vectoriels de dimension finie V et W , leur produit tensoriel peut être défini comme un (2,0)-tenseur satisfaisant :

${\displaystyle V\otimes W(v,m)=V(v)W(w),\forall v\in V^{*},\forall w\in W^{*},}$

où V ^* et W ^* désignent les espaces duaux de V et W .

Pour les espaces vectoriels de dimension infinie, on a aussi :

• Produit tensoriel des espaces de Hilbert
• Produit tensoriel topologique .

Le produit tenseur, le produit extérieur et le produit Kronecker véhiculent tous la même idée générale. Les différences entre ceux-ci sont que le produit de Kronecker n'est qu'un produit tensoriel de matrices, par rapport à une base préalablement fixée, alors que le produit tensoriel est généralement donné dans sa définition intrinsèque . Le produit extérieur est simplement le produit de Kronecker, limité aux vecteurs (au lieu de matrices).

La classe de tous les objets avec un produit tensoriel

En général, chaque fois que l'on a deux objets mathématiques qui peuvent être combinés d'une manière qui se comporte comme un produit tensoriel algébrique linéaire, alors cela peut être le plus généralement compris comme le produit interne d'une catégorie monoïdale . C'est-à-dire que la catégorie monoïdale capture précisément la signification d'un produit tensoriel ; il capture exactement la notion de pourquoi les produits tensoriels se comportent comme ils le font. Plus précisément, une catégorie monoïdale est la classe de toutes les choses (d'un type donné ) qui ont un produit tensoriel.

Autres produits en algèbre linéaire

D'autres types de produits en algèbre linéaire comprennent :

• Produit Hadamard
• Produit Kronecker
• Le produit des tenseurs :
  • Produit calé ou produit extérieur
  • Produit d'intérieur
  • Produit extérieur
  • Produit tenseur

produit cartésien

En théorie des ensembles , un produit cartésien est une opération mathématique qui renvoie un ensemble (ou ensemble de produits ) à partir de plusieurs ensembles. Autrement dit, pour les ensembles A et B , le produit cartésien A × B est l'ensemble de toutes les paires ordonnées (a, b) — où a A et b B .

La classe de toutes les choses (d'un type donné ) qui ont des produits cartésiens est appelée une catégorie cartésienne . Beaucoup d'entre eux sont des catégories fermées cartésiennes . Les ensembles sont un exemple de tels objets.

Produit vide

Le produit vide sur les nombres et la plupart des structures algébriques a la valeur 1 (l'élément d'identité de la multiplication), tout comme la somme vide a la valeur 0 (l'élément d'identité de l'addition). Cependant, le concept de produit vide est plus général, et nécessite un traitement particulier en logique , théorie des ensembles , programmation informatique et théorie des catégories .

Produits sur d'autres structures algébriques

Les produits sur d'autres types de structures algébriques comprennent :

• le produit cartésien des ensembles
• le produit direct des groupes , ainsi que le produit semi - direct , produit en tricot et produit couronne
• le produit gratuit des groupes
• le produit des anneaux
• le produit des idéaux
• le produit d'espaces topologiques
• le produit de Wick de variables aléatoires
• le bouchon , la coupe , le Massey et le produit incliné en topologie algébrique
• le produit de smash et la somme du coin (parfois appelé produit du coin) en homotopie

Quelques-uns des produits ci-dessus sont des exemples de la notion générale de produit interne dans une catégorie monoïdale ; le reste est descriptible par la notion générale de produit dans la théorie des catégories .

Produits dans la théorie des catégories

Tous les exemples précédents sont des cas particuliers ou des exemples de la notion générale de produit. Pour le traitement général du concept de produit, voir produit (théorie des catégories) , qui décrit comment combiner deux objets d'un certain type pour créer un objet, éventuellement d'un type différent. Mais aussi, en théorie des catégories, on a :

• le produit fibreux ou pullback,
• la catégorie de produits , une catégorie qui est le produit de catégories.
• l' ultraproduit , en théorie des modèles .
• le produit interne d'une catégorie monoïdale , qui capture l'essence d'un produit tensoriel.

Autres produits

• L' intégrale du produit d' une fonction (en tant qu'équivalent continu du produit d'une séquence ou en tant que version multiplicative de l'intégrale normale/standard/additive. L'intégrale du produit est également appelée « produit continu » ou « multiplié ».
• Multiplication complexe , une théorie des courbes elliptiques.

Voir également

• Produit tensoriel de Deligne des catégories abéliennes
• Produit indéfini
• Produit infini
• Opération binaire itérée
• Multiplication  – Opération arithmétique

Remarques

Les références

Bibliographie

• Jarchow, Hans (1981). Espaces localement convexes . Stuttgart : BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .