Homomorphisme topologique - Topological homomorphism

En analyse fonctionnelle , un homomorphisme topologique ou simplement homomorphisme (si aucune confusion ne surviendra) est l'analogue des homomorphismes pour la catégorie des espaces vectoriels topologiques (TVS). Ce concept est d'une importance considérable en analyse fonctionnelle et le célèbre théorème d'application ouverte donne une condition suffisante pour qu'une application linéaire continue entre espaces de Fréchet soit un homomorphisme topologique.

Définitions

Un homomorphisme topologique ou simplement homomorphisme (si aucune confusion ne surviendra) est une application linéaire continue entre des espaces vectoriels topologiques (TVS) telle que la carte induite est une application ouverte lorsque quelle est l' image de est donnée la topologie de sous - espace induite par Ce concept est d'une importance considérable en analyse fonctionnelle et le célèbre théorème de l'application ouverte donne une condition suffisante pour qu'une application linéaire continue entre les espaces de Fréchet soit un homomorphisme topologique. $u:X\à Y$ $u:X\to \operatorname {Im} u$ $\operatorname {Im} u:=u(X),$ $u,$ ${\style d'affichage Y.}$

Un encastrement TVou un monomorphisme topologique est un homomorphisme topologique injectif . De manière équivalente, un plongement TVS est une carte linéaire qui est également un plongement topologique .

Caractérisations

Supposons qu'il s'agisse d'une application linéaire entre les TVS et notez qu'elle peut être décomposée en la composition des applications linéaires canoniques suivantes : $u:X\à Y$ $u$

X~{\overset {\pi }{\rightarrow }}~X/\operatorname {ker} u~{\overset {u_{0}}{\rightarrow }}~\operatorname {Im} u~{ \overset {\operatorname {In} }{\rightarrow }}~Y

où est la carte du quotient canonique et est la carte d'inclusion . $\pi :X\to X/\operatorname {ker} u$ $\operatorname {In} :\operatorname {Im} u\to Y$

Les éléments suivants sont équivalents :

$u$ est un homomorphisme topologique
li>pour chaque base de voisinage de l'origine en est une base de voisinage de l'origine en ${\mathcal {U}}$ ${\style d'affichage X,}$ $u\left({\mathcal {U}}\right)$ ${\style d'affichage Y}$
la carte induite est un isomorphisme de TVS $u_{0}:X/\operatorname {ker} u\to \operatorname {Im} u$

Si en plus l'intervalle de est un espace de Hausdorff de dimension finie, alors les éléments suivants sont équivalents : $u$

$u$ est un homomorphisme topologique
$u$ est continu
$u$ est continue à l'origine
$u^{-1}(0)$ est fermé dans ${\style d'affichage X}$

Conditions suffisantes

Théorème — Soit une application linéaire continue surjective d'un espace LF dans un TVS Si est aussi un espace LF ou si est un espace de Fréchet alors est un homomorphisme topologique. $u:X\à Y$ ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage Y.}$ ${\style d'affichage Y}$ ${\style d'affichage Y}$ $u:X\à Y$

Théorème — Supposons un opérateur linéaire continu entre deux TVS de Hausdorff. Si est un sous-espace vectoriel dense de et si la restriction à est un homomorphisme topologique alors est aussi un homomorphisme topologique. ${\style d'affichage f:X\à Y}$ ${\style d'affichage M}$ ${\style d'affichage X}$ $f{\big \vert }_{M}:M\to Y$ ${\style d'affichage M}$ ${\style d'affichage f:X\à Y}$

Donc si et sont des complétions de Hausdorff de et respectivement, et si est un homomorphisme topologique, alors l'unique extension linéaire continue de est un homomorphisme topologique. (Cependant, il est possible d'être surjectif mais de ne pas être injectif.) ${\style d'affichage C}$ ${\style d'affichage D}$ ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage Y,}$ ${\style d'affichage f:X\à Y}$ ${\style d'affichage f}$ ${\style d'affichage F:C\à D}$ ${\style d'affichage f:X\à Y}$ ${\style d'affichage F:C\à D}$

Théorème de mappage ouvert

Le théorème de mappage ouvert , également connu sous le nom de théorème d'homomorphisme de Banach , donne une condition suffisante pour qu'un opérateur linéaire continu entre des TVS métrisables complètes soit un homomorphisme topologique.

Théorème — Soit une application linéaire continue entre deux TVS métrisables complètes. Si qui est la plage de est un sous-ensemble dense de alors soit est maigre (c'est-à-dire de la première catégorie ) dans ou bien est un homomorphisme topologique surjectif. En particulier, est un homomorphisme topologique si et seulement si est un sous-ensemble fermé de $u:X\à Y$ $\operatorname {Je} u,$ $u,$ ${\style d'affichage Y}$ $\operatorname {Je} u$ ${\style d'affichage Y}$ $u:X\à Y$ $u:X\à Y$ $\operatorname {Je} u$ ${\style d'affichage Y.}$

Corollaire - Soit et être topologies TVS sur un espace vectoriel de sorte que chaque topologie fait dans un TVSS métrisable complet . Si soit ou alors ${\style d'affichage \sigma }$ ${\style d'affichage \tau }$ ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage X}$ $\sigma \subseteq \tau$ $\tau \subseteq \sigma$ $\sigma =\tau .$

Corollaire — Si est un TVS métrisable complet , et sont deux sous-espaces vectoriels fermés de et si est la somme directe algébrique de et (c'est-à-dire la somme directe dans la catégorie des espaces vectoriels), alors est la somme directe de et dans la catégorie des espaces vectoriels. ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage M}$ ${\style d'affichage N}$ ${\style d'affichage X,}$ ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage M}$ ${\style d'affichage N}$ ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage M}$ ${\style d'affichage N}$

Exemples

Chaque fonctionnelle linéaire continue sur un TVS est un homomorphisme topologique.

Soit un TVS -dimensionnel sur le champ et non nul. Soit défini par Si a sa topologie euclidienne habituelle et si est Hausdorff alors est un TVS-isomorphisme. ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage 1}$ $\mathbb {K}$ ${\style d'affichage x\dans X}$ $L:\mathbb {K} \to X$ ${\style d'affichage L(s):=sx.}$ $\mathbb {K}$ ${\style d'affichage X}$ $L:\mathbb {K} \to X$

Voir également

Homomorphisme – Carte préservant la structure entre deux structures algébriques du même type
Cartographie ouverte
Surjection des espaces de Fréchet – Théorème caractérisant lorsqu'une application linéaire continue entre espaces de Fréchet est surjective.
Espace vectoriel topologique – Espace vectoriel avec une notion de proximité

Les références

Bibliographie

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