Espace uniforme - Uniform space

Dans le domaine mathématique de la topologie , un espace uniforme est un ensemble avec une structure uniforme . Les espaces uniformes sont des espaces topologiques avec une structure supplémentaire qui est utilisée pour définir des propriétés uniformes telles que la complétude , la continuité uniforme et la convergence uniforme . Les espaces uniformes généralisent les espaces métriques et les groupes topologiques , mais le concept est conçu pour formuler les axiomes les plus faibles nécessaires pour la plupart des preuves en analyse .

En plus des propriétés habituelles d'une structure topologique, dans un espace uniforme on formalise les notions de proximité relative et de proximité de points. En d'autres termes, des idées comme « x est plus proche de a que y ne l' est de b » ont un sens dans des espaces uniformes. Par comparaison, dans un espace topologique général, étant donné les ensembles A,B, il est significatif de dire qu'un point x est arbitrairement proche de A (c'est-à-dire dans la fermeture de A ), ou peut-être que A est un plus petit voisinage de x que B , mais les notions de proximité de points et de proximité relative ne sont pas bien décrites par la structure topologique seule.

Définition

Il existe trois définitions équivalentes pour un espace uniforme. Ils sont tous constitués d'un espace doté d'une structure uniforme.

Définition de l'entourage

Cette définition adapte la présentation d'un espace topologique en termes de systèmes de voisinage . Une collection non vide de sous - ensembles est un${\style d'affichage \Phi }$${\displaystyle U\subseteq X\times X}$ structure uniforme (ou ununiformité ) s'il vérifie les axiomes suivants :

1. Si , alors , où est la diagonale sur .${\displaystyle U\in \Phi }$${\displaystyle \Delta \subseteq U}$${\displaystyle \Delta =\{(x,x):x\in X\}}$${\style d'affichage X\fois X}$
2. Si et , alors .${\displaystyle U\in \Phi }$${\displaystyle U\subseteq V\subseteq X\times X}$${\displaystyle V\in \Phi }$
3. Si et , alors .${\displaystyle U\in \Phi }$${\displaystyle V\in \Phi }$${\displaystyle U\cap V\in \Phi }$
4. Si , alors il existe tel que , où désigne le composé de avec lui-même. (Le composé de deux sous - ensembles et de est défini par .)${\displaystyle U\in \Phi }$${\displaystyle V\in \Phi }$${\displaystyle V\circ V\subseteq U}$${\displaystyle V\circ V}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage X\fois X}$${\displaystyle V\circ U=\{(x,z):\existe y\in X:(x,y)\in U\wedge (y,z)\in V\}}$
5. Si , alors , où est l' inverse de U .${\displaystyle U\in \Phi }$${\displaystyle U^{-1}\in \Phi }$${\displaystyle U^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in U\}}$

La non-vide de Φ pris avec (2) et (3) énonce que Φ est un filtre sur X × X . Si la dernière propriété est omise, nous appelons l'espace quasi-uniforme . Les éléments U de Φ sont appelés voisinages ou entourages du mot français pour les environs .

On écrit habituellement U [ x ] = { y  : ( x , y ) ∈ U } = pr ₂ ( U ∩ ({ x } × X  )) , où U ∩ ({ x } × X  ) est la section verticale de U et pr ₂ est la projection sur la deuxième coordonnée. Sur un graphique, un entourage typique est dessiné comme une goutte entourant la diagonale " y = x " ; tous les différents U [ x ] forment les sections transversales verticales. Si ( x , y ) U , on dit que x et y sont U- proches . De même, si toutes les paires de points d'un sous-ensemble A de X sont U -close (c'est-à-dire si A ×; A est contenu dans U ), A est appelé U -small . Un entourage U est symétrique si ( x , y ) U précisément quand ( y , x ) U . Le premier axiome énonce que chaque point est U -proche de lui-même pour chaque entourage U . Le troisième axiome garantit qu'être "à la fois U -close et V -close" est aussi une relation de proximité dans l'uniformité. Le quatrième axiome stipule que pour chaque entourage U il y a un entourage V qui n'est « pas plus de la moitié de sa taille ». Enfin, le dernier axiome énonce que la propriété "proximité" par rapport à une structure uniforme est symétrique en x et y .

Un fond ou système fondamental d'entourages (ou proximités ) d'une uniformité Φ est un ensemble B d'entourages de Φ tel que tout entourage de Ф contient un ensemble appartenant à B . Ainsi, par la propriété 2 ci-dessus, un système fondamental d'entourages B suffit pour spécifier l'uniformité Φ sans ambiguïté : Φ est l'ensemble des sous-ensembles de X × X qui contiennent un ensemble de B . Chaque espace uniforme a un système fondamental d'entourages constitué d'entourages symétriques.

L'intuition sur les uniformités est fournie par l'exemple des espaces métriques : si ( X , d ) est un espace métrique, les ensembles

${\displaystyle U_{a}=\{(x,y)\in X\times X:d(x,y)\leq a\}\quad {\text{where}}\quad a>0}$

forment un système fondamental d'entourages pour la structure uniforme standard de X . Alors x et y sont U _{a -} proches précisément lorsque la distance entre x et y est au plus a .

Une uniformité Φ est plus fine qu'une autre uniformité Ψ sur le même ensemble si Φ ⊇ Ψ ; dans ce cas Ψ est dit plus grossier que Φ .

Définition pseudométrique

Les espaces uniformes peuvent être définis alternativement et de manière équivalente à l'aide de systèmes de pseudométrie , une approche particulièrement utile en analyse fonctionnelle (avec la pseudométrie fournie par les seminormes ). Plus précisément, soit f : X × X → R une pseudométrique sur un ensemble X . On peut montrer que les images inverses U _a = f ⁻¹ ([0, a ]) pour a > 0 forment un système fondamental d'entourages d'uniformité. L'uniformité engendrée par le U _a est l'uniformité définie par l'unique pseudométrique f . Certains auteurs appellent des espaces dont la topologie est définie en termes d' espaces de jauge pseudométriques .

Pour une famille ( f _i ) de pseudométries sur X , la structure uniforme définie par la famille est la plus petite borne supérieure des structures uniformes définies par les pseudométries individuelles f _i . Un système fondamental d'entourages de cette uniformité est fourni par l'ensemble des intersections finies d'entourages des uniformités définies par la pseudométrie individuelle f _i . Si la famille de pseudométriques est finie , on voit qu'une même structure uniforme est définie par une seule pseudométrique, à savoir l' enveloppe supérieure sup f _i de la famille.

De manière moins triviale, on peut montrer qu'une structure uniforme qui admet un système fondamental dénombrable d'entourages (d'où en particulier une uniformité définie par une famille dénombrable de pseudométries) peut être définie par une seule pseudométrie. Une conséquence est que toute structure uniforme peut être définie comme ci-dessus par une famille (éventuellement indénombrable) de pseudométriques (voir Bourbaki : Topologie Générale Chapitre IX §1 n°4).

Définition de couverture uniforme

Un espace uniforme ( X ,  Θ ) est un ensemble X muni d'une famille distinguée de revêtements thetav , appelées « couvertures uniformes », tiré de la série de revêtements de X , qui forment un filtre lors de la commande par le raffinement étoile. On dit qu'une couverture P est un raffinement étoile de la couverture Q , écrit P <* Q , si pour tout A ∈ P , il y a un U ∈ Q tel que si A ∩ B ≠ Ø, B ∈ P , alors B ⊆ U . Axiomatiquement, la condition d'être un filtre se réduit à :

1. {X} est une couverture uniforme (ie {X} ∈ Θ ).
2. Si P <* Q et P est une couverture uniforme, alors Q est également une couverture uniforme.
3. Si P et Q sont des couvertures uniformes, alors il existe une couverture uniforme R qui affine à la fois P et Q .

Étant donné un point x et une couverture uniforme P , on peut considérer l'union des membres de P qui contiennent x comme un voisinage typique de x de « taille » P , et cette mesure intuitive s'applique uniformément sur l'espace.

Étant donné un espace uniforme au sens de l'entourage, définir un revêtement P uniforme s'il existe un entourage U tel que pour chaque x ∈ X , il existe un A ∈ P tel que U [ x ] A . Ces couvertures uniformes forment un espace uniforme comme dans la deuxième définition. A l' inverse, étant donné un espace uniforme dans le sens de couverture uniforme, les surensembles de ⋃ { A × A  : A ∈ P }, en tant que P se situe au-dessus de la couverture uniforme, sont les entourages d'un espace uniforme comme dans la première définition. De plus, ces deux transformations sont inverses l'une de l'autre.

Topologie des espaces uniformes

Tout espace uniforme X devient un espace topologique en définissant un sous-ensemble O de X comme ouvert si et seulement si pour tout x dans O il existe un entourage V tel que V [ x ] est un sous-ensemble de O . Dans cette topologie, le filtre de voisinage d'un point x est { V [ x ] : V Φ}. Ceci peut être prouvé par un usage récursif de l'existence d'un entourage « demi-taille ». Par rapport à un espace topologique général l'existence de la structure uniforme permet la comparaison de tailles de voisinages : V [ x ] et V [ y ] sont considérés comme étant de « même taille ».

La topologie définie par une structure uniforme est dite induite par l'uniformité . Une structure uniforme sur un espace topologique est compatible avec la topologie si la topologie définie par la structure uniforme coïncide avec la topologie d'origine. En général plusieurs structures uniformes différentes peuvent être compatibles avec une topologie donnée sur X .

Espaces uniformisables

Un espace topologique est dit uniformisable s'il existe une structure uniforme compatible avec la topologie.

Tout espace uniformisable est un espace topologique complètement régulier . De plus, pour un espace uniformisable X sont équivalents :

• X est un espace de Kolmogorov
• X est un espace de Hausdorff
• X est un espace de Tychonoff
• pour toute structure uniforme compatible, l'intersection de tous les entourages est la diagonale {( x , x ) : x in X }.

Certains auteurs (par exemple Engelking) ajoutent cette dernière condition directement dans la définition d'un espace uniformisable.

La topologie d'un espace uniformisable est toujours une topologie symétrique ; Autrement dit, l'espace est un R ₀ -space .

A l'inverse, chaque espace parfaitement régulier est uniformisable. Une uniformité compatible avec la topologie d'un espace X complètement régulier peut être définie comme l'uniformité la plus grossière qui rend toutes les fonctions à valeur réelle continues sur X uniformément continues. Un système fondamental d'entourages pour cette uniformité est fourni par toutes les intersections finies d'ensembles ( f × f ) ⁻¹ ( V ), où f est une fonction continue à valeur réelle sur X et V est un entourage de l'espace uniforme R . Cette uniformité définit une topologie, qui est nettement plus grossière que la topologie originale de X ; qu'elle soit aussi plus fine que la topologie d'origine (donc coïncide avec elle) est une simple conséquence de la régularité complète : pour tout x ∈ X et un voisinage V de x , il existe une fonction continue à valeur réelle f avec f ( x )= 0 et égal à 1 dans le complément de V .

En particulier, un espace de Hausdorff compact est uniformisable. En fait, pour un espace de Hausdorff compact X l'ensemble de tous les voisinages de la diagonale en X × X forme l' unique uniformité compatible avec la topologie.

Un espace uniforme de Hausdorff est métrisable si son uniformité peut être définie par une famille dénombrable de pseudométries. En effet, comme discuté ci - dessus , une telle uniformité peut être définie par une seule pseudométrique, qui est nécessairement une métrique si l'espace est Hausdorff. En particulier, si la topologie d'un espace vectoriel est Hausdorff et définissable par une famille dénombrable de semi - normes , elle est métrisable.

Continuité uniforme

Similaires aux fonctions continues entre les espaces topologiques , qui préservent les propriétés topologiques , sont les fonctions uniformément continues entre les espaces uniformes, qui préservent les propriétés uniformes. Les espaces uniformes avec des cartes uniformes forment une catégorie . Un isomorphisme entre des espaces uniformes est appelé un isomorphisme uniforme .

Une fonction uniformément continue est définie comme une fonction où les images inverses d'entourages sont à nouveau des entourages, ou de manière équivalente, une fonction où les images inverses de couvertures uniformes sont à nouveau des couvertures uniformes.

Toutes les fonctions uniformément continues sont continues par rapport aux topologies induites.

Intégralité

En généralisant la notion d' espace métrique complet , on peut également définir la complétude pour les espaces uniformes. Au lieu de travailler avec des séquences de Cauchy , on travaille avec des filtres de Cauchy (ou des réseaux de Cauchy ).

UNE Filtre de Cauchy (resp. unPréfiltre Cauchy )Fsur un espace uniformeXest unfiltre(resp. Unpréfiltre)Ftelle que pour tout entourageU, il existeA∈FavecA×A⊆U. En d'autres termes, un filtre est Cauchy s'il contient des ensembles « arbitrairement petits ». Il résulte des définitions que chaque filtre qui converge (par rapport à la topologie définie par la structure uniforme) est un filtre de Cauchy. Un filtre de Cauchy est ditminimals'il ne contient pas de filtre de Cauchy plus petit (c'est-à-dire plus grossier) (autre que lui-même). On peut montrer que chaque filtre de Cauchy contient unfiltre de Cauchy minimalunique. Le filtre de voisinage de chaque point (le filtre constitué de tous les voisinages du point) est un filtre de Cauchy minimal.

Inversement, un espace uniforme est appelé complète si tous les filtres de Cauchy convergent. Tout espace Hausdorff compact est un espace uniforme complet par rapport à l'uniformité unique compatible avec la topologie.

Les espaces uniformes complets bénéficient de la propriété importante suivante : si f : A → Y est une fonction uniformément continue d'un sous- ensemble dense A d'un espace uniforme X dans un espace uniforme complet Y , alors f peut être étendu (uniquement) en une fonction uniformément continue sur l' ensemble de X .

Un espace topologique qui peut être transformé en un espace uniforme complet, dont l'uniformité induit la topologie d'origine, est appelé un espace complètement uniformisable .

Hausdorff achèvement d'un espace uniforme

Comme pour les espaces métriques, tout espace uniforme X a unComplétion de Hausdorff : c'est-à-dire qu'il existe un espace uniforme de Hausdorff completYet une application uniformément continuei:X→Yavec la propriété suivante :

pour toute application uniformément continue f de X dans un espace uniforme de Hausdorff complet Z , il existe une unique application uniformément continue g : Y → Z telle que f = gi .

La complétion de Hausdorff Y est unique à isomorphisme près. En tant qu'ensemble, Y peut être considéré comme constitué des filtres de Cauchy minimaux sur X . Comme le filtre de voisinage B ( x ) de chaque point x de X est un filtre de Cauchy minimal, l'application i peut être définie en faisant correspondre x à B ( x ). L'application i ainsi définie n'est en général pas injective ; en fait, le graphe de la relation d'équivalence i ( x ) = i ( x ') est l'intersection de tous les entourages de X , et donc i est injectif précisément lorsque X est Hausdorff.

La structure uniforme sur Y est définie comme suit : pour chaque entourage symétrique V (c'est-à-dire tel que ( x , y ) est dans V précisément quand ( y , x ) est dans V ), soit C ( V ) l'ensemble de tous paires ( F , G ) de filtres de Cauchy minimaux qui ont en commun au moins un V-petit ensemble . On peut montrer que les ensembles C ( V ) forment un système fondamental d'entourages ; Y est doté de la structure uniforme ainsi définie.

L'ensemble i ( X ) est alors un sous - ensemble dense de Y . Si X est Hausdorff, alors i est un isomorphisme sur i ( X ), et donc X peut être identifié avec un sous-ensemble dense de sa complétion. De plus, i ( X ) est toujours Hausdorff ; on l'appelle l' espace uniforme de Hausdorff associé à X . Si R désigne la relation d'équivalence i ( x ) = i ( x '), alors l'espace quotient X / R est homéomorphe à i ( X ).

Exemples

1. Tout espace métrique ( M , d ) peut être considéré comme un espace uniforme. En effet, comme une métrique est a fortiori une pseudométrique, la définition pseudométrique fournit à M une structure uniforme. Un système fondamental d'entourages de cette uniformité est fourni par les ensembles

   ${\displaystyle \qquad U_{a}\triangleq d^{-1}([0,a])=\{(m,n)\in M\times M:d(m,n)\leq a\} .}$

   Cette structure uniforme sur M génère la topologie spatiale métrique habituelle sur M . Cependant, différents espaces métriques peuvent avoir la même structure uniforme (un exemple trivial est fourni par un multiple constant d'une métrique). Cette structure uniforme produit également des définitions équivalentes de continuité et de complétude uniformes pour les espaces métriques .
2. En utilisant des métriques, un exemple simple de structures uniformes distinctes avec des topologies coïncidentes peut être construit. Par exemple, soit d ₁ ( x , y ) = | x − y | être la métrique usuelle sur R et soit d ₂ ( x , y ) = | e ^x − e ^y |. Alors les deux métriques induisent la topologie habituelle sur R , mais les structures uniformes sont distinctes, puisque { (x,y) : | x − y | < 1 } est un entourage dans la structure uniforme pour d ₁ mais pas pour d ₂ . De manière informelle, cet exemple peut être considéré comme prenant l'uniformité habituelle et la déformant par l'action d'une fonction continue mais non uniformément continue.
3. Tout groupe topologique G (en particulier tout espace vectoriel topologique ) devient un espace uniforme si l'on définit un sous-ensemble V de G × G comme un entourage si et seulement s'il contient l'ensemble { ( x , y ) : x ⋅ y ^{− 1} dans U } pour un voisinage U de l' élément d'identité de G . Cette structure uniforme sur G est appelée uniformité à droite sur G , car pour tout a dans G , la multiplication à droite x → x ⋅ a est uniformément continue par rapport à cette structure uniforme. On peut aussi définir une uniformité à gauche sur G ; les deux n'ont pas besoin de coïncider, mais ils génèrent tous les deux la topologie donnée sur G .
4. Pour tout groupe topologique G et son sous-groupe H l'ensemble des co- ensembles de gauche G / H est un espace uniforme par rapport à l'uniformité défini comme suit. Les ensembles , où U parcourt les voisinages de l' identité dans G , forment un système fondamental d'entourages pour l'uniformité . La topologie induite correspondante sur G / H est égale à la topologie quotient définie par l'application naturelle G → G / H .${\displaystyle {\tilde {U}}=\{(s,t)\in G/H\times G/H:\ \ t\in U\cdot s\}}$
5. La topologie triviale appartient à un espace uniforme dans lequel tout le produit cartésien X × X est le seul entourage .

Histoire

Avant qu'André Weil ne donne la première définition explicite d'une structure uniforme en 1937, les concepts uniformes, comme la complétude, étaient discutés à l'aide d' espaces métriques . Nicolas Bourbaki a fourni la définition de structure uniforme en termes d'entourages dans le livre Topologie Générale et John Tukey a donné la définition de couverture uniforme. Weil a également caractérisé les espaces uniformes en termes d'une famille de pseudométries.

Voir également

• Structure grossière
• Espace métrique complet  – Géométrie métrique
• Espace vectoriel topologique complet  - Un TVS où les points qui se rapprochent progressivement les uns des autres convergeront toujours vers un point
• Espace complètement uniformisable
• Filtres en topologie  – Utilisation de filtres pour décrire et caractériser toutes les notions et résultats topologiques de base.
• Espace de proximité  – Structure décrivant une notion de « proximité » entre sous-ensembles
• Espace (mathématiques)  - Ensemble mathématique avec une structure ajoutée
• Topologie de convergence uniforme
• Continuité uniforme  – Contrainte uniforme du changement de fonctions
• Isomorphisme uniforme  – Homéomorphisme uniformément continu
• Propriété uniforme  – Objet d'étude dans la catégorie des espaces topologiques uniformes
• Espace uniformément connecté  - Type d'espace uniforme

Les références

• Nicolas Bourbaki , Topologie générale ( Topologie Générale ), ISBN  0-387-19374-X (Ch. 1-4), ISBN  0-387-19372-3 (Ch. 5-10): Le chapitre II est une référence complète de l'uniforme structures, le chapitre IX § 1 couvre la pseudométrie, et le chapitre III § 3 couvre les structures uniformes sur les groupes topologiques
• Ryszard Engelking , Topologie générale. Edition revue et complétée , Berlin 1989.
• John R. Isbell , Espaces uniformes ISBN  0-8218-1512-1
• IM James, Introduction aux espaces uniformes ISBN  0-521-38620-9
• IM James, Espaces topologiques et uniformes ISBN  0-387-96466-5
• John Tukey , Convergence et uniformité en topologie ; ISBN  0-691-09568-X
• André Weil , Sur les espaces à structure uniforme et sur la topologie générale , Act. Sci. Ind. 551 , Paris, 1937