Icositétraèdre pentagonal - Pentagonal icositetrahedron
Icositétraèdre pentagonal | |
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(Cliquez sur ccw ou cw pour faire pivoter les modèles.) |
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Type | catalan |
Notation de Conway | gC |
Diagramme de Coxeter | |
Polygone de visage |
pentagone irrégulier |
Visages | 24 |
Bords | 60 |
Sommets | 38 = 6 + 8 + 24 |
Configuration du visage | V3.3.3.3.4 |
Angle dièdre | 136 ° 18 '33' |
Groupe de symétrie | O , ½BC 3 , [4,3] + , 432 |
Double polyèdre | cube snub |
Propriétés | convexe , face-transitive , chirale |
Net |
En géométrie , un icositétraèdre pentagonal ou un icosikaitétraèdre pentagonal est un solide catalan qui est le dual du cube snub . En cristallographie, il est également appelé gyroïde .
Il a deux formes distinctes, qui sont des images miroir (ou « énantiomorphes ») l'une de l'autre.
Construction
L'icositétraèdre pentagonal peut être construit à partir d'un cube snub sans prendre le double. Des pyramides carrées sont ajoutées aux six faces carrées du cube adouci, et des pyramides triangulaires sont ajoutées aux huit faces triangulaires qui ne partagent pas une arête avec un carré. Les hauteurs de la pyramide sont ajustées pour les rendre coplanaires avec les 24 autres faces triangulaires du cube snub. Le résultat est l'icositétraèdre pentagonal.
Coordonnées cartésiennes
Désignons la constante de tribonacci par . (Voir cube snub pour une explication géométrique de la constante tribonacci.) Les coordonnées cartésiennes des 38 sommets d'un icositétraèdre pentagonal centré à l'origine sont les suivantes:
- les 12 permutations paires de (± 1, ± (2t + 1), ± t 2 ) avec un nombre pair de signes moins
- les 12 permutations impaires de (± 1, ± (2t + 1), ± t 2 ) avec un nombre impair de signes moins
- les 6 points (± t 3 , 0, 0), (0, ± t 3 , 0) et (0, 0, ± t 3 )
- les 8 points (± t 2 , ± t 2 , ± t 2 )
Géométrie
Les faces pentagonales ont quatre angles de et un angle de . Le pentagone a trois bords courts de longueur unitaire chacun et deux longs bords de longueur . L'angle aigu se situe entre les deux longs bords. L'angle dièdre est égal à .
Si son cube double snub a une longueur d'arête unitaire, sa surface et son volume sont:
Projections orthogonales
L' icositétraèdre pentagonal a trois positions de symétrie, deux centrées sur les sommets et une sur le milieu.
Symétrie projective |
[3] | [4] + | [2] |
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Image | |||
Double image |
Variations
Des variations isoédriques avec la même symétrie octaédrique chirale peuvent être construites avec des faces pentagonales ayant 3 longueurs d'arête.
Cette variante représentée peut être construite en ajoutant des pyramides à 6 faces carrées et 8 faces triangulaires d'un cube snub de telle sorte que les nouvelles faces triangulaires à 3 triangles coplanaires fusionnent en faces pentagones identiques.
Cube snub avec pyramides augmentées et faces fusionnées |
Icositétraèdre pentagonal |
Net |
Polyèdres et pavages associés
Ce polyèdre est topologiquement apparenté en tant que partie d'une séquence de polyèdres et de pavages de pentagones avec des configurations de face (V3.3.3.3. N ). (La séquence progresse en pavages du plan hyperbolique vers n'importe quel n .) Ces figures transitives à faces ont une symétrie de rotation (n32) .
n 32 mutations de symétrie des pavages snub: 3.3.3.3.n | ||||||||
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Symétrie n 32 |
Sphérique | Euclidienne | Hyperbolique compact | Paracomp. | ||||
232 | 332 | 432 | 532 | 632 | 732 | 832 | ∞32 | |
Chiffres snub |
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Config. | 3.3.3.3.2 | 3.3.3.3.3 | 3.3.3.3.4 | 3.3.3.3.5 | 3.3.3.3.6 | 3.3.3.3.7 | 3.3.3.3.8 | 3.3.3.3.∞ |
gyro chiffres |
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Config. | V3.3.3.3.2 | V3.3.3.3.3 | V3.3.3.3.4 | V3.3.3.3.5 | V3.3.3.3.6 | V3.3.3.3.7 | V3.3.3.3.8 | V3.3.3.3.∞ |
L' icositétraèdre pentagonal est le deuxième d'une série de polyèdres et de pavages à double face avec la configuration de face V3.3.4.3. n .
4 n 2 mutations de symétrie des pavages snub: 3.3.4.3.n | ||||||||
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Symétrie 4 n 2 |
Sphérique | Euclidienne | Hyperbolique compact | Paracomp. | ||||
242 | 342 | 442 | 542 | 642 | 742 | 842 | ∞42 | |
Chiffres snub |
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Config. | 3.3.4.3.2 | 3.3.4.3.3 | 3.3.4.3.4 | 3.3.4.3.5 | 3.3.4.3.6 | 3.3.4.3.7 | 3.3.4.3.8 | 3.3.4.3.∞ |
gyro chiffres |
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Config. | V3.3.4.3.2 | V3.3.4.3.3 | V3.3.4.3.4 | V3.3.4.3.5 | V3.3.4.3.6 | V3.3.4.3.7 | V3.3.4.3.8 | V3.3.4.3.∞ |
L'icositétraèdre pentagonal fait partie d'une famille de duels aux polyèdres uniformes liés au cube et à l'octaèdre régulier.
Polyèdres octaédriques uniformes | ||||||||||
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Symétrie : [4,3], (* 432) | [4,3] + (432) |
[1 + , 4,3] = [3,3] (* 332) |
[3 + , 4] (3 * 2) |
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{4,3} | t {4,3} |
r {4,3} r {3 1,1 } |
t {3,4} t {3 1,1 } |
{3,4} {3 1,1 } |
rr {4,3} s 2 {3,4} |
tr {4,3} | sr {4,3} |
h {4,3} {3,3} |
h 2 {4,3} t {3,3} |
s {3,4} s {3 1,1 } |
= |
= |
= |
= ou |
= ou |
= |
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Doubles à polyèdres uniformes | ||||||||||
V4 3 | V3.8 2 | V (3,4) 2 | V4.6 2 | V3 4 | V3.4 3 | V4.6.8 | V3 4 .4 | V3 3 | V3.6 2 | V3 5 |
Les références
- Williams, Robert (1979). Les fondements géométriques de la structure naturelle: un livre source de conception . ISBN de Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X. (Section 3-9)
- Wenninger, Magnus (1983), Dual Models , Cambridge University Press , doi : 10.1017 / CBO9780511569371 , ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208 (Les treize polyèdres convexes semi-réguliers et leurs duaux, page 28, icositétraèdre pentagonal)
- Les symétries des choses 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Chapitre 21, Nommer les polyèdres et les pavages archimédiens et catalans, page 287, icosikaitetraedron pentagonal )
Liens externes
- Icositétraèdre pentagonal - Modèle polyèdre interactif