Enchères tout payant - All-pay auction

En économie et en théorie des jeux , une enchère tout payée est une enchère dans laquelle chaque enchérisseur doit payer, qu'il remporte ou non le prix, qui est attribué au plus offrant comme dans une enchère conventionnelle.

Dans une enchère à tous les salaires, l' équilibre de Nash est tel que chaque enchérisseur joue une stratégie mixte et que leur gain attendu est nul. Le revenu attendu du vendeur est égal à la valeur du prix. Cependant, certaines expériences économiques ont montré que la surenchère est courante. Autrement dit, les revenus du vendeur dépassent fréquemment celui de la valeur du prix, et dans les jeux répétés, même les enchérisseurs qui remportent le prix fréquemment subiront très probablement une perte à long terme.

Formes d'enchères tout payant

La forme la plus simple d'une enchère à tous les paiements est une vente aux enchères Tullock , parfois appelée loterie Tullock du nom de Gordon Tullock , dans laquelle tout le monde soumet une offre, mais les perdants et les gagnants paient leurs offres soumises. Cela contribue à décrire certaines idées en économie des choix publics . L' enchère en dollars est une enchère Tullock à deux joueurs, ou un jeu multijoueur dans lequel seuls les deux plus offrants paient leurs enchères.

Une loterie ou une tombola conventionnelle peut également être considérée comme un processus connexe, puisque tous les détenteurs de billets ont payé mais qu'un seul obtient le prix. Des exemples pratiques courants d'enchères tout payant peuvent être trouvés sur plusieurs sites Web d' enchères aux enchères à un centime .

D'autres formes d'enchères tout payant existent, comme une guerre d'usure (également connue sous le nom d'enchères biologiques), dans laquelle le plus offrant l'emporte, mais tous (ou plus généralement les deux) soumissionnaires ne paient que l'offre la moins élevée. La guerre d'usure est utilisée par les biologistes pour modéliser des concours conventionnels, ou des interactions agonistiques résolues sans recours à l'agression physique .

Des règles

L'analyse suivante suit quelques règles de base.

Chaque soumissionnaire soumet une offre, qui ne dépend que de sa valorisation.
Les soumissionnaires ne connaissent pas les évaluations des autres soumissionnaires.
L'analyse est basée sur un environnement de valeur privée indépendante (VPI) où l'évaluation de chaque soumissionnaire est établie indépendamment d'une distribution uniforme [0,1]. Dans l'environnement IPV, si ma valeur est de 0,6, la probabilité qu'un autre soumissionnaire ait une valeur inférieure est également de 0,6. En conséquence, la probabilité que deux autres soumissionnaires aient une valeur inférieure est de . ${\ textstyle 0,6 ^ {2} = 0,36}$

Hypothèse de symétrie

Dans le domaine du VPI, les soumissionnaires sont symétriques car les évaluations proviennent de la même distribution. Celles-ci font que l'analyse se concentre sur des stratégies d'enchères symétriques et monotones. Cela implique que deux soumissionnaires ayant la même évaluation présenteront la même offre. En conséquence, sous symétrie, le soumissionnaire avec la valeur la plus élevée l'emportera toujours.

Utilisation de l' équivalence des revenus pour prédire la fonction d'enchères

Considérez la version à deux joueurs de l'enchère tout payant et soyez les évaluations privées indépendantes et identiquement distribuées sur une distribution uniforme de [0,1]. Nous souhaitons trouver une fonction d'enchère monotone croissante,, qui forme un équilibre de Nash symétrique. ${\ displaystyle v_ {i}, v_ {j}}$ ${\ displaystyle b (v)}$

Notez que si le joueur des enchères , il remporte l'enchère que si son offre est plus grande que le joueur de l' offre . La probabilité que cela se produise est ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle b (x)}$ ${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle b (v_ {j})}$

${\ displaystyle \ mathbb {P} [b (x)> b (v_ {j})] = \ mathbb {P} [x> v_ {j}] = x}$ , puisque est monotone et Unif [0,1] ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle v_ {j} \ sim}$

Ainsi, la probabilité d'attribution du bien à est . Ainsi, l'utilité attendue de s lorsqu'il enchérit comme si sa valeur privée était donnée par ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle u_ {i} (x | v_ {i}) = v_ {i} xb (x)}$ .

Car pour être un équilibre bayésien-Nash, devrait avoir son maximum à de sorte qu'il n'ait aucune incitation à dévier les bâtons donnés avec son offre de . ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle u_ {i} (x_ {i} | v_ {i})}$ ${\ displaystyle x_ {i} = v_ {i}}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle b (v_ {j})}$

${\ displaystyle \ implique u_ {i} '(v_ {i}) = 0 \ implique v_ {i} = b' (v_ {i})}$

Lors de l'intégration, nous obtenons . ${\ displaystyle b (v_ {i}) = {\ frac {v_ {i} ^ {2}} {2}} + c}$

Nous savons que si le joueur a une évaluation privée , il enchérira 0; . Nous pouvons utiliser ceci pour montrer que la constante d'intégration est également 0. ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle v_ {i} = 0}$ ${\ displaystyle b (0) = 0}$

Ainsi, nous obtenons . ${\ displaystyle b (v_ {i}) = {\ frac {v_ {i} ^ {2}} {2}}}$

Puisque cette fonction est en effet monotone croissante, cette stratégie d'enchères constitue un équilibre bayésien-Nash. Le revenu de l'enchère tout payant dans cet exemple est ${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle R = b (v_ {1}) + b (v_ {2}) = {\ frac {v_ {1} ^ {2}} {2}} + {\ frac {v_ {2} ^ {2 }} {2}}}$

Puisque sont tirés iid d'Unif [0,1], le revenu attendu est ${\ displaystyle v_ {1}, v_ {2}}$

${\ displaystyle \ mathbb {E} [R] = \ mathbb {E} [{\ frac {v_ {1} ^ {2}} {2}} + {\ frac {v_ {2} ^ {2}} { 2}}] = \ mathbb {E} [v ^ {2}] = \ int \ limits _ {0} ^ {1} v ^ {2} dv = {\ frac {1} {3}}}$ .

En raison du théorème d'équivalence des revenus , toutes les enchères avec 2 joueurs auront un revenu attendu du moment où les évaluations privées sont iid d'Unif [0,1]. ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}}}$

Exemples

Prenons l'exemple d'un fonctionnaire corrompu qui traite avec les donateurs de la campagne: chacun veut qu'il leur fasse une faveur qui vaut entre 0 $ et 1 000 $ (distribuée uniformément). Leurs évaluations réelles sont de 250 $, 500 $ et 750 $. Ils ne peuvent observer que leurs propres évaluations. Ils offrent chacun un cadeau coûteux à l'officiel - s'ils dépensent X dollars pour le cadeau, cela vaut X dollars pour l'officiel. Le fonctionnaire ne peut faire qu'une faveur et fera la faveur au donateur qui lui fait le cadeau le plus cher.

Il s'agit d'un modèle typique d'enchères tout payant. Pour calculer l'enchère optimale pour chaque donateur, nous devons normaliser les évaluations {250, 500, 750} à {0,25, 0,5, 0,75} afin que l'IPV puisse s'appliquer.

Selon la formule d'enchère optimale:

${\ displaystyle b_ {i} (v_ {i}) = \ left ({\ frac {n-1} {n}} \ right) {v_ {i}} ^ {n}}$

Les offres optimales pour trois donateurs sous IPV sont:

${\ displaystyle b_ {1} (v_ {1}) = \ left ({\ frac {n-1} {n}} \ right) {v_ {1}} ^ {n} = \ left ({\ frac { 2} {3}} \ right) {0,25} ^ {3} = 0,0104}$

${\ displaystyle b_ {2} (v_ {2}) = \ left ({\ frac {n-1} {n}} \ right) {v_ {2}} ^ {n} = \ left ({\ frac { 2} {3}} \ droite) {0,50} ^ {3} = 0,0833}$

${\ displaystyle b_ {3} (v_ {3}) = \ left ({\ frac {n-1} {n}} \ right) {v_ {3}} ^ {n} = \ left ({\ frac { 2} {3}} \ droite) {0,75} ^ {3} = 0,2813}$

Pour obtenir le montant optimal réel que chacun des trois donateurs devrait donner, il suffit de multiplier les valeurs de l'IPV par 1000:

${\ displaystyle b_ {1} réel (v_ {1} = 0,25) = \ $ 10,4}$

${\ displaystyle b_ {2} réel (v_ {2} = 0,50) = \ $ 83,3}$

${\ displaystyle b_ {3} réel (v_ {3} = 0,75) = \ $ 281,3}$

Cet exemple implique que le fonctionnaire obtiendra finalement 375 $ mais que seul le troisième donateur, qui a fait un don de 281,3 $, gagnera la faveur du fonctionnaire. Notez que les deux autres donateurs savent que leurs valorisations ne sont pas assez élevées (faibles chances de gagner), ils ne donnent donc pas beaucoup, équilibrant ainsi le potentiel de gain énorme et les faibles chances de gagner.

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