Enchère scellée au premier prix - First-price sealed-bid auction

Une enchère aux enchères scellées au premier prix (FPSBA) est un type d' enchère courant . Il est également connu sous le nom d' enchère aveugle . Dans ce type d'enchères, tous les soumissionnaires soumettent simultanément des offres scellées afin qu'aucun soumissionnaire ne connaisse l'offre d'un autre participant. Le plus offrant paie le prix qui a été soumis.

Analyse stratégique

Dans un FPSBA, chaque enchérisseur est caractérisé par sa valorisation monétaire de l'article à vendre.

Supposons qu'Alice soit un soumissionnaire et que son évaluation le soit . Ensuite, si Alice est rationnelle: ${\ displaystyle a}$

Elle n'enchérira jamais plus , car enchérir plus d' un ne peut que lui faire perdre de la valeur nette. ${\ displaystyle a}$
Si elle enchérit exactement , elle ne perdra pas mais ne gagnera pas non plus de valeur positive. ${\ displaystyle a}$
Si elle enchérit moins que , alors elle peut avoir un gain positif, mais le gain exact dépend des enchères des autres. ${\ displaystyle a}$

Alice aimerait enchérir le plus petit montant qui peut lui faire gagner l'objet, tant que ce montant est inférieur à . Par exemple, s'il y a un autre enchérisseur Bob et qu'il enchérit et , alors Alice aimerait enchérir (où est le plus petit montant qui peut être ajouté, par exemple un centime). ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle y <a}$ ${\ displaystyle y + \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$

Malheureusement, Alice ne sait pas ce que les autres soumissionnaires vont offrir. De plus, elle ne connaît même pas les évaluations des autres soumissionnaires. Par conséquent, stratégiquement, nous avons un jeu bayésien - un jeu dans lequel les agents ne connaissent pas les gains des autres agents.

Le défi intéressant dans un tel jeu est de trouver un équilibre bayésien de Nash . Cependant, ce n'est pas facile même lorsqu'il n'y a que deux soumissionnaires. La situation est plus simple lorsque les évaluations des soumissionnaires sont iid variables aléatoires , c'est-à-dire: il existe une distribution a priori connue et les évaluations des soumissionnaires sont toutes tirées de la même distribution.

Exemple

Supposons qu'il y ait deux soumissionnaires, Alice et Bob, dont les évaluations et sont tirées d'une distribution uniforme continue sur l'intervalle [0,1]. Ensuite, c'est un équilibre Bayésien-Nash lorsque chaque enchérisseur enchérit exactement la moitié de sa valeur: Alice enchérit et Bob enchérit . ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle a / 2}$ ${\ displaystyle b / 2}$

PREUVE: La preuve prend le point de vue d'Alice. Nous supposons qu'elle sait que Bob fait une offre , mais elle ne le sait pas . Nous trouvons la meilleure réponse d'Alice à la stratégie de Bob. Supposons qu'Alice fasse une offre . Il y a deux cas: ${\ displaystyle f (b) = b / 2}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle x}$

${\ Displaystyle x \ geq f (b)}$ . Ensuite, Alice gagne et bénéficie d'un gain net de . Cela se produit avec probabilité . ${\ Displaystyle ax}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (x) = 2x}$
${\ Displaystyle x <f (b)}$ . Puis Alice perd et son gain net est de 0. Cela se produit avec probabilité . ${\ displaystyle 1-f ^ {- 1} (x)}$

Dans l' ensemble, le gain attendu d'Alice est la suivante : . Le gain maximum est atteint quand . La dérivée est (voir Fonctions inverses et différenciation ): ${\ Displaystyle G (x) = f ^ {- 1} (x) \ cdot (ax)}$ ${\ displaystyle G '(x) = 0}$

{\ displaystyle G '(x) = - f ^ {- 1} (x) + (ax) \ cdot {1 \ over f' (f ^ {- 1} (x))}}

et il est nul lorsque l'offre d'Alice satisfait: ${\ displaystyle x}$

{\ displaystyle f ^ {- 1} (x) = (ax) \ cdot {1 \ over f '(f ^ {- 1} (x))}}

Maintenant, puisque nous recherchons un équilibre symétrique, nous voulons également que l'offre d' Alice soit égale . Donc nous avons: ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle f (a)}$

{\ Displaystyle f ^ {- 1} (f (a)) = (af (a)) \ cdot {1 \ over f '(f ^ {- 1} (f (a)))}}

{\ displaystyle a = (af (a)) \ cdot {1 \ over f '(a)}}

{\ Displaystyle af '(a) = (af (a))}

La solution de cette équation différentielle est: . ${\ displaystyle f (a) = a / 2}$

Généralisation

Désigné par:

${\ displaystyle v_ {i}}$ - l'évaluation du soumissionnaire ; ${\ displaystyle i}$
${\ displaystyle y_ {i}}$ - l'évaluation maximale de tous les soumissionnaires sauf , c'est-à-dire . ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle y_ {i} = \ max _ {j \ neq i} {v_ {j}}}$

Ensuite, un FPSBA a un BNE symétrique unique dans lequel l'enchère du joueur est donnée par: ${\ displaystyle i}$

{\ displaystyle E [y_ {i} | y_ {i} <v_ {i}]}

Variante compatible avec les incitations

Le FPSBA n'est pas compatible avec les incitations, même dans le sens faible de Bayesian-Nash-Incentive-Compatibility (BNIC), car il n'y a pas d'équilibre bayésien-Nash dans lequel les soumissionnaires déclarent leur vraie valeur.

Cependant, il est facile de créer une variante de FPSBA qui est BNIC, si les a priori sur les évaluations sont de notoriété publique. Par exemple, pour le cas d'Alice et Bob décrit ci-dessus, les règles de la variante BNIC sont:

Le plus offrant l'emporte;
Le plus offrant paie la moitié de son offre.

En effet, cette variante simule les stratégies d'équilibre Bayésien-Nash des joueurs, donc dans l'équilibre Bayésien-Nash, les deux soumissionnaires offrent leur vraie valeur.

Cet exemple est un cas particulier d'un principe beaucoup plus général: le principe de révélation .

Comparaison avec les enchères au second prix

Le tableau suivant compare le FPSBA aux enchères scellées au deuxième prix (SPSBA):

Enchères:	Premier prix	Deuxième prix
Gagnant:	Agent avec l'offre la plus élevée	Agent avec l'offre la plus élevée
Le gagnant paie:	Offre du gagnant	Deuxième enchère la plus élevée
Le perdant paie:	0	0
Stratégie dominante :	Pas de stratégie dominante	Enchérir honnêtement est la stratégie dominante
Équilibre bayésien de Nash	Offres des soumissionnaires ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle {\ frac {n-1} {n}} v_ {i}}$	Le soumissionnaire offre honnêtement ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle v_ {i}}$
Revenus du commissaire-priseur	${\ displaystyle {\ frac {n-1} {n + 1}}}$	${\ displaystyle {\ frac {n-1} {n + 1}}}$

Le revenu du commissaire-priseur est calculé dans le cas de l'exemple, dans lequel les évaluations des agents sont tirées indépendamment et uniformément au hasard à partir de [0,1]. A titre d'exemple, lorsqu'il y a des agents: ${\ displaystyle n = 2}$

Lors d'une enchère au premier prix, le commissaire-priseur reçoit le maximum des deux offres d'équilibre, c'est-à-dire . ${\ displaystyle \ max (a / 2, b / 2)}$
Dans une enchère au second prix, le commissaire-priseur reçoit le minimum des deux enchères véridiques, ce qui est . ${\ Displaystyle \ min (a, b)}$

Dans les deux cas, le revenu attendu du commissaire-priseur est de 1/3.

Ce fait que les revenus soient les mêmes n'est pas une coïncidence - c'est un cas particulier du théorème d' équivalence des revenus . Cela ne vaut que lorsque les évaluations des agents sont statistiquement indépendantes ; lorsque les évaluations dépendent, nous avons une enchère de valeur commune , et dans ce cas, les revenus d'une enchère au deuxième prix sont généralement plus élevés que dans une enchère au premier prix.

L'article à vendre ne peut être vendu si l'offre finale n'est pas suffisamment élevée pour satisfaire le vendeur, c'est-à-dire que le vendeur se réserve le droit d'accepter ou de refuser l'offre la plus élevée. Si le vendeur annonce aux soumissionnaires le prix de réserve, il s'agit d'une enchère publique à prix de réserve. En revanche, si le vendeur n'annonce pas le prix de réserve avant la vente mais seulement après la vente, il s'agit d'une enchère secrète de prix de réserve.

Comparaison avec d'autres enchères

Un FPSBA est distinct de l' enchère anglaise en ce que les soumissionnaires ne peuvent soumettre qu'une seule offre chacun. De plus, comme les soumissionnaires ne peuvent pas voir les offres des autres participants, ils ne peuvent pas ajuster leurs propres offres en conséquence.

On a fait valoir que le FPSBA était stratégiquement équivalent à l' enchère néerlandaise .

Ce qui est effectivement FPSBA est communément appelé appel d' offres pour les marchés publics par les entreprises et les organisations, en particulier pour les marchés publics et les enchères de baux miniers. On pense que le FPSBA conduit à de faibles coûts de passation des marchés grâce à la concurrence et à une faible corruption grâce à une transparence accrue, même s'ils peuvent entraîner un surcoût ex post plus élevé du projet achevé et plus de temps pour le mener à bien.

Une enchère généralisée au premier prix est un mécanisme d'enchère non véridique pour la recherche sponsorisée (aka enchères de position).

Une généralisation des enchères à la fois au 1er prix et au 2ème prix est une enchère dans laquelle le prix est une combinaison convexe du 1er et du 2ème prix.

Les références

Lectures complémentaires

Hammami, Farouk; Rekik, Monia; Coelho, Leandro C. (2019). "Approches de solutions exactes et heuristiques pour le problème de construction des offres dans les enchères d'approvisionnement de transport avec une flotte hétérogène". Recherche sur les transports, partie E: examen de la logistique et des transports . 127 : 150-177. doi : 10.1016 / j.tre.2019.05.009 . Enchères combinatoires pour la passation de marchés de services de transport avec des règles de soumission scellée du premier prix.

Liens externes

Équilibre de Nash dans les enchères au premier prix - dans math.stackexchange.com.

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