Espace vectoriel topologique localement convexe - Locally convex topological vector space

Dans l'analyse fonctionnelle et les domaines connexes des mathématiques , les espaces vectoriels topologiques localement convexes ( LCTVS ) ou les espaces localement convexes sont des exemples d' espaces vectoriels topologiques (TVS) qui généralisent les espaces normés . Ils peuvent être définis comme des espaces vectoriels topologiques dont la topologie est générée par des translations d'ensembles équilibrés , absorbants et convexes . Alternativement, ils peuvent être définis comme un espace vectoriel avec une famille de semi - normes , et une topologie peut être définie en fonction de cette famille. Bien qu'en général de tels espaces ne soient pas nécessairement normables , l'existence d'une base locale convexe pour le vecteur zéro est suffisamment forte pour que le théorème de Hahn-Banach soit valable , ce qui donne une théorie suffisamment riche des fonctionnelles linéaires continues .

Les espaces de Fréchet sont des espaces localement convexes complètement métrisables (avec un choix de métrique complète). Ce sont des généralisations des espaces de Banach , qui sont des espaces vectoriels complets par rapport à une métrique générée par une norme .

Histoire

Les topologies métrisables sur les espaces vectoriels ont été étudiées depuis leur introduction dans la thèse de Maurice Fréchet de 1902, Sur quelques points du calcul fonctionnel (où la notion de métrique a été introduite pour la première fois). Après que la notion d'espace topologique général ait été définie par Felix Hausdorff en 1914, bien que des topologies localement convexes aient été implicitement utilisées par certains mathématiciens, jusqu'en 1934, seul John von Neumann semble avoir défini explicitement la topologie faible sur les espaces de Hilbert et la topologie des opérateurs forts. sur les opérateurs sur les espaces de Hilbert. Enfin, en 1935 von Neumann a introduit la définition générale d'un espace localement convexe (appelé un espace convexe par lui).

Un exemple notable d'un résultat qui a dû attendre le développement et la diffusion d'espaces généraux localement convexes (parmi d'autres notions et résultats, comme les réseaux , la topologie du produit et le théorème de Tychonoff ) pour être prouvé dans sa pleine généralité, est le Banach-Alaoglu théorème que Stefan Banach a établi pour la première fois en 1932 par un argument diagonal élémentaire pour le cas des espaces normés séparables (auquel cas la boule unité du dual est métrisable ).

Définition

Supposons que X soit un espace vectoriel sur un sous - champ des nombres complexes (normalement lui-même ou ). Un espace localement convexe est défini soit en termes d'ensembles convexes, soit de manière équivalente en termes de semi-normes. ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Définition via des ensembles convexes

Un sous-ensemble C dans X est appelé

1. Convexe si pour tout x , y dans C et , tx + (1 – t ) y est dans C . En d'autres termes, C contient tous les segments de ligne entre les points de C .${\style d'affichage 0\leq t\leq 1}$
2. Encerclé si pour tout x dans C , λx est dans C si | X | = 1 . Si cela signifie que C est égal à sa réflexion par l'origine. Car cela signifie que pour tout x dans C , C contient le cercle passant par x , centré sur l'origine, dans le sous-espace complexe unidimensionnel généré par x .${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} ,}$
3. Un cône (quand le champ sous-jacent est ordonné ) si pour tout x dans C et 0 ≤ λ ≤ 1, λx est dans C .
4. Équilibré si pour tout x dans C , λx est dans C si | X | 1 . Si cela signifie que si x est dans C , C contient le segment de droite entre x et − x . Car cela signifie que pour tout x dans C , C contient le disque avec x sur sa frontière, centré sur l'origine, dans le sous-espace complexe unidimensionnel généré par x . De manière équivalente, un ensemble équilibré est un cône cerclé.${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} ,}$
5. Absorbant ou absorbant si pour chaque x dans X , il existe tel que x est dans tC pour tout satisfaisant L'ensemble C peut être agrandi par n'importe quelle valeur "grande" pour absorber chaque point de l'espace. ${\style d'affichage r>0}$${\displaystyle t\in \mathbb {K} }$${\style d'affichage |t|>r.}$
   • Dans n'importe quel TVS, chaque voisinage de l'origine est absorbant.
6. Absolument convexe ou disque s'il est à la fois équilibré et convexe. Cela équivaut à le fermer sous des combinaisons linéaires dont les coefficients s'additionnent absolument à ; un tel ensemble est absorbant s'il s'étend sur tout X .${\style d'affichage \leq 1}$

Un espace vectoriel topologique est dit localement convexe si l'origine a une base de voisinage (c'est-à-dire une base locale) constituée d'ensembles convexes.

En fait, chaque TVS localement convexe a une base de voisinage de l'origine constituée d'ensembles absolument convexes (c'est-à-dire de disques), où cette base de voisinage peut en outre être choisie pour être également entièrement constituée d'ensembles ouverts ou entièrement d'ensembles fermés. Chaque TVS a une base de voisinage à l'origine constituée d'ensembles équilibrés mais seul un TVS localement convexe a une base de voisinage à l'origine constituée d'ensembles à la fois équilibrés et convexes. Il est possible qu'un TVS ait des voisinages de l'origine qui soient convexes et pourtant ne soient pas localement convexes.

Parce que la traduction est (par définition de "l'espace vectoriel topologique") continue, toutes les traductions sont des homéomorphismes , donc chaque base pour les voisinages de l'origine peut être traduite en une base pour les voisinages d'un vecteur donné.

Définition via les semi-normes

Une semi-norme sur X est une application telle que ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

1. p est positif ou semi-défini positif : ;${\style d'affichage p(x)\geq 0}$
2. p est positif homogène ou positif scalable : pour tout scalaire So, en particulier, ;${\style d'affichage p(sx)=|s|p(x)}$${\style d'affichage s.}$${\style d'affichage p(0)=0}$
3. p est sous-additif. Il vérifie l'inégalité triangulaire :${\style d'affichage p(x+y)\leq p(x)+p(y).}$

Si p satisfait la définition positive, ce qui signifie que si alors , alors p est une norme . Alors qu'en général les semi-normes n'ont pas besoin d'être des normes, il existe un analogue de ce critère pour les familles de semi-normes, la séparation, définie ci-dessous. ${\style d'affichage p(x)=0}$${\style d'affichage x=0}$

Définition : Si X est un espace vectoriel et est une famille de semi-normes sur X alors un sous-ensemble de est appelé base de semi-normes car si pour tout il existe un et un réel tels que${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}$${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}}}$${\style d'affichage r>0}$${\displaystyle p\leq rq.}$

Définition (seconde version) : Un espace localement convexe est défini comme un espace vectoriel X avec une famille de semi-normes sur X .${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Topologie semi-norme

Supposons que X est un espace vectoriel sur lequel sont soit les nombres réels ou complexes, et laissez (resp. dénotent la boule ouverte (resp. fermée) de rayon dans Une famille de semi-normes sur l'espace vectoriel X induit une topologie d'espace vectoriel canonique sur X , appelée topologie initiale induite par les semi-normes, ce qui en fait un espace vectoriel topologique (TVS).Par définition, c'est la topologie la plus grossière sur X pour laquelle toutes les applications en sont continues. ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\style d'affichage B_{r}}$${\style d'affichage B_{\leq r}}$${\style d'affichage r>0}$${\displaystyle \mathbb {K} .}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Le fait que les opérations spatiales vectorielles soient continues dans cette topologie découle des propriétés 2 et 3 ci-dessus. On voit aisément que l'espace vectoriel topologique résultant est « localement convexe » au sens de la première définition donnée ci-dessus car chacun est absolument convexe et absorbant (et parce que ces dernières propriétés sont conservées par translations). ${\style d'affichage U_{B,r}(0)}$

Il est possible pour une topologie localement convexe sur un espace X à être induite par une famille de normes , mais pour X à ne pas être normable (qui est, d'avoir sa topologie être induite par une seule norme).

Base et sous-base

Supposons qu'il s'agisse d'une famille de semi-normes sur X qui induit une topologie localement convexe 𝜏 sur X . Une sous- base à l'origine est donnée par tous les ensembles de la forme comme p s'étend sur et r s'étend sur les nombres réels positifs. Une base à l'origine est donnée par la collection de toutes les intersections finies possibles de tels ensembles de sous-bases. ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle p^{-1}\left(B_{<r}\right)=\left\{x\in X:p(x)<r\right\}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Rappelons que la topologie d'un TVS est invariante par translation, ce qui signifie que si S est un sous-ensemble quelconque de X contenant l'origine alors pour tout S est un voisinage de 0 si et seulement si est un voisinage de x ; il suffit donc de définir la topologie à l'origine. Une base de voisinages de y pour cette topologie est obtenue de la manière suivante : pour tout sous-ensemble fini F de et tout let ${\style d'affichage x\dans X,}$ ${\style d'affichage x+S}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\style d'affichage r>0,}$

${\displaystyle U_{F,r}(y):=\left\{x\in X:p(xy)<r\ {\text{ for all }}p\in F\right\}.}$

Bases de semi-normes et familles saturées

Si X est un espace localement convexe et si est une collection de semi-normes continues sur X , alors est appelée base de semi - normes continues si c'est une base de semi-normes pour la collection de toutes les semi-normes continues sur X . Explicitement, cela signifie que pour toutes les semi-normes continues p sur X , il existe a et un réel tels que${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle q\in {\mathcal {P}}}$${\style d'affichage r>0}$${\displaystyle p\leq rq.}$

Si est une base de semi-normes continues pour un TVS localement convexe X alors la famille de tous les ensembles de la forme comme q varie sur et r varie sur les nombres réels positifs, est une base de voisinages de l'origine dans X (pas seulement une sous-base , il n'est donc pas nécessaire de prendre des intersections finies de tels ensembles). ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle \left\{x\in X:q\left(x\right)<r\right\}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Une famille de semi-normes sur un espace vectoriel X est dite saturée si pour tout p et q dans , la semi-norme définie par appartient à . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle x\mapsto \max\{p(x),q(x)\}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Si est une famille saturée de semi-normes continues qui induit la topologie sur X alors la collection de tous les ensembles de la forme comme p s'étend sur et r s'étend sur tous les nombres réels positifs, forme une base de voisinage à l'origine constituée d'ensembles ouverts convexes ; Cela forme une base à l'origine plutôt qu'une simple sous-base, de sorte qu'en particulier, il n'est pas nécessaire de prendre des intersections finies de tels ensembles. ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Base des normes

Le théorème suivant implique que si X est un espace localement convexe la topologie de X peut être un défini par une famille de continue des normes sur X (une norme est un seminorme où implique ) si et seulement s'il existe au moins une continue norme sur X . C'est parce que la somme d'une norme et d'une semi-norme est une norme, donc si un espace localement convexe est défini par une famille de semi-normes (chacune est nécessairement continue) alors la famille de normes (également continues) obtenue en ajoutant une certaine continue donnée norme à chaque élément, sera nécessairement une famille de normes qui définit cette même topologie localement convexe. S'il existe une norme continue sur un espace vectoriel topologique X alors X est nécessairement Hausdorff mais la réciproque n'est en général pas vraie (même pas pour les espaces localement convexes ou les espaces de Fréchet ). ${\style d'affichage s}$${\style d'affichage s(x)=0}$${\style d'affichage x=0}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}+n:=\left\{p+n:p\in {\mathcal {P}}\right\}}$${\style d'affichage n}$

Filets

Supposons que la topologie d'un espace localement convexe X soit induite par une famille de semi-normes continues sur X . Si et si est un réseau dans X , alors dans X si et seulement si pour tout De plus, si est Cauchy dans X , alors il en est de même pour tout${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\style d'affichage x\dans X}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle p\in {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }-x\right)=\left(p\left(x_{i}\right)-x\right)_{i\in I}.}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)=\left(p\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}}$${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}.}$

Équivalence des définitions

Bien que la définition en termes de base de voisinage donne une meilleure image géométrique, la définition en termes de semi-normes est plus facile à travailler en pratique. L'équivalence des deux définitions découle d'une construction connue sous le nom de fonctionnelle de Minkowski ou jauge de Minkowski. La principale caractéristique de seminormes qui assure la convexité de leur ε - boules est l' inégalité triangulaire .

Pour un ensemble absorbant C tel que si x est dans C , alors tx est dans C à chaque fois , définissez la fonctionnelle de Minkowski de C comme étant ${\style d'affichage 0\leq t\leq 1}$

${\displaystyle \mu _{C}(x)=\inf\{\lambda >0:x\in \lambda C\}.}$

De cette définition, il résulte qu'il s'agit d'une semi-norme si C est équilibré et convexe (il est également absorbant par hypothèse). Inversement, étant donné une famille de semi-normes, les ensembles ${\displaystyle \mu _{C}}$

${\displaystyle \left\{x:p_{\alpha _{1}}(x)<\varepsilon _{1},\ldots ,p_{\alpha _{n}}(x)<\varepsilon _{n }\droit\}}$

forment une base d'ensembles équilibrés absorbants convexes.

Manières de définir une topologie localement convexe

Autres définitions

• Une famille de semi - normes est dite totale ou séparée ou est dite à points séparés si chaque fois que cela est vrai pour chaque α alors x est nécessairement 0 . Un espace localement convexe est Hausdorff si et seulement s'il a une famille séparée de semi-normes. De nombreux auteurs reprennent le critère de Hausdorff dans la définition.${\displaystyle \left(p_{\alpha }\right)_{\alpha }}$${\style d'affichage p_{\alpha }(x)=0}$
• Une pseudométrique est une généralisation d'une métrique qui ne satisfait pas à la condition que seulement lorsque A espace localement convexe est pseudométrisable, c'est-à-dire que sa topologie découle d'une pseudométrique, si et seulement si elle possède une famille dénombrable de semi-normes. En effet, une pseudométrique induisant la même topologie est alors donnée par${\style d'affichage d(x,y)=0}$${\style d'affichage x=y.}$
  $${\displaystyle d(x,y)=\sum _{n}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}{\frac {p_{n}(xy)}{1+ p_{n}(xy)}}}$$

  
  (où le 1/2 ⁿ peut être remplacé par n'importe quelle séquence sommable positive ). Cette pseudométrie est invariante à la traduction, mais non homogène, et ne définit donc pas de (pseudo)norme. La pseudométrique est une métrique honnête si et seulement si la famille des semi-normes est séparée, puisque c'est le cas si et seulement si l'espace est Hausdorff. Si de plus l'espace est complet, l'espace est appelé espace de Fréchet .${\style d'affichage a_{n}}$${\style d'affichage d(kx,ky)\neq |k|d(x,y),}$
• Comme pour tout espace vectoriel topologique, un espace localement convexe est aussi un espace uniforme . Ainsi , on peut parler de continuité uniforme , convergence uniforme , et des séquences de Cauchy .
• A Cauchy net dans un espace localement convexe est un net { x _κ } _κ tel que pour tout ε > 0 et chaque seminorme p _α , il existe un κ tel que pour tout λ , μ > κ , p _α ( x _λ - x _μ ) < ε . Autrement dit, le net doit être Cauchy dans toutes les semi-normes simultanément. La définition de la complétude est donnée ici en termes de réseaux au lieu de séquences plus familières car contrairement aux espaces de Fréchet qui sont métrisables, les espaces généraux peuvent être définis par une famille indénombrable de pseudométries. Les séquences, dénombrables par définition, ne peuvent suffire à caractériser la convergence dans de tels espaces. Un espace localement convexe est complet si et seulement si tout réseau de Cauchy converge.
• Une famille de semi - normes devient un pré - ordonnées ensemble sous le rapport p _α ≤ p _β si et seulement s'il existe un M > 0 tel que pour tout x , p _α ( x ) ≤ Mp _β ( x ) . On dit qu'il est une famille dirigée de seminormes si la famille est un ensemble réalisé avec addition comme jointure en d' autres termes, si pour chaque α et β , il y a une γ telle que p _α + p _β ≤ p _γ . Chaque famille de semi-normes a une famille dirigée équivalente, c'est-à-dire qui définit la même topologie. En effet, étant donnée une famille { p _α } _{α ∈ I} , soit Φ l'ensemble des sous-ensembles finis de I , puis pour tout F dans Φ , définissons
  $${\displaystyle q_{F}=\sum _{\alpha \in F}p_{\alpha }.}$$

  
  On peut vérifier que { q _F } _{F ∈ Φ} est une famille dirigée équivalente.
• Si la topologie de l'espace est induite à partir d'une seule semi-norme, alors l'espace est semi - normable . Tout espace localement convexe avec une famille finie de semi-normes est semi-normable. De plus, si l'espace est Hausdorff (la famille est séparée), alors l'espace est normable, de norme donnée par la somme des semi-normes. En termes d'ensembles ouverts, un espace vectoriel topologique localement convexe est semi-normable si et seulement si 0 a un voisinage borné .

Conditions suffisantes

Propriété d'extension Hahn-Banach

Soit X un TVS. Disons qu'un sous-espace vectoriel M de X a la propriété d'extension si n'importe quelle fonctionnelle linéaire continue sur M peut être étendue à une fonctionnelle linéaire continue sur X . Disons que X a la propriété d'extension Hahn-Banach ( HBEP ) si chaque sous-espace vectoriel de X a la propriété d'extension.

Le théorème de Hahn-Banach garantit que tout espace de Hausdorff localement convexe a le HBEP. Pour des TVS métrisables complètes, il existe une réciproque :

Si un espace vectoriel X a une dimension indénombrable et si nous le dotons de la topologie vectorielle la plus fine alors c'est un TVS avec le HBEP qui n'est ni localement convexe ni métrisable.

Propriétés

Tout au long, se trouve une famille de semi-normes continues qui génèrent la topologie de X . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Propriétés topologiques

• Supposons que Y soit un TVS (pas nécessairement localement convexe ou Hausdorff) sur les nombres réels ou complexes. Alors les sous-ensembles ouverts convexes de Y sont exactement ceux qui sont de la forme pour certaines et certaines fonctionnelles sublinéaires continues positives p sur Y .${\displaystyle z+\{y\in Y:p(y)<1\}=\{y\in Y:p(yz)<1\}}$${\displaystyle z\in Y}$
• Si et alors si et seulement si pour toute collection finie il en existe une telle que${\displaystyle S\subseteq X}$${\style d'affichage x\dans X,}$${\displaystyle x\in \operatorname {cl} S}$${\style d'affichage r>0}$${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {P}}}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}(xs)<r.}$
• La fermeture de dans X est égale à${\style d'affichage \{0\}}$${\displaystyle \bigcap _{p\in {\mathcal {P}}}p^{-1}(0).}$
• Chaque TVS de Hausdorff localement convexe est homéomorphe à un sous-espace d'un produit d' espaces de Banach .

Propriétés topologiques des sous-ensembles convexes

• L'intérieur et la fermeture d'un sous-ensemble convexe d'un TVS sont à nouveau convexes.
• La somme de Minkowski de deux ensembles convexes est convexe ; de plus, le multiple scalaire d'un ensemble convexe est à nouveau convexe.
• Si C est un ensemble convexe à intérieur non vide, alors la fermeture de C est égale à la fermeture de l'intérieur de C ; de plus, l'intérieur de C est égal à l'intérieur de la fermeture de C .
  • Donc si un ensemble convexe C a un intérieur non vide alors C est un ensemble fermé (resp. ouvert) si et seulement si c'est un ensemble fermé régulier (resp. ouvert régulier).
• Si C est un sous-ensemble convexe d'un TVS X (pas nécessairement Hausdorff), x appartient à l'intérieur de S , et y appartient à la fermeture de S , alors le segment de droite ouvert joint x et y (c'est-à-dire ) appartient au intérieur de S .${\displaystyle \{tx+(1-t)y:0<t<1\}}$
• Si X est un espace localement convexe (pas nécessairement Hausdorff), M est un sous-espace vectoriel fermé de X , V est un voisinage convexe de 0 dans M , et si est un vecteur non dans V , alors il existe un voisinage convexe U de 0 dans X tel que et${\style d'affichage z\dans X}$${\displaystyle V=U\cap M}$${\displaystyle z\pas \in U.}$
• La fermeture d'un sous-ensemble convexe d'un TVS localement convexe de Hausdorff X est la même pour toutes les topologies de TVS de Hausdorff localement convexes sur X qui sont compatibles avec la dualité entre X et son espace dual continu.
• Dans un espace localement convexe, l' enveloppe convexe et l' enveloppe disque d'un ensemble totalement borné sont totalement bornées.
• Dans un espace localement convexe complet, l'enveloppe convexe et l'enveloppe discale d'un ensemble compact sont toutes deux compactes.
  • Plus généralement, si K est un sous-ensemble compact d'un espace localement convexe, alors l'enveloppe convexe (resp. l'enveloppe discale ) est compacte si et seulement si elle est complète.${\displaystyle \operatorname {co} K}$${\displaystyle \operatorname {cobal} K}$
• Dans un espace localement convexe, les enveloppes convexes d'ensembles bornés sont bornées. Ce n'est pas vrai pour les TVS en général.
• Dans un espace de Fréchet , l'enveloppe convexe fermée d'un ensemble compact est compacte.
• Dans un espace localement convexe, toute combinaison linéaire d'ensembles totalement bornés est totalement bornée.

Propriétés des coques convexes

Pour tout sous-ensemble S d'un TVS X , l' enveloppe convexe (resp. enveloppe convexe fermée , enveloppe équilibrée , resp. enveloppe équilibrée convexe ) de S , notée (resp. , ), est la plus petite convexe (resp. convexe fermée, équilibrée , convexe équilibré) sous-ensemble de X contenant S . ${\displaystyle \operatorname {co} S}$${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}S,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$

• Dans un TVS localement convexe quasi-complet , la fermeture de l'enveloppe convexe d'un sous-ensemble compact est à nouveau compacte.
• Dans un TVS localement convexe de Hausdorff, l'enveloppe convexe d'un ensemble précompact est à nouveau précompacte. Par conséquent, dans une TVS de Hausdorff localement convexe complète , l'enveloppe convexe fermée d'un sous-ensemble compact est à nouveau compacte.
• Dans tout TVS, l'enveloppe convexe d'une union finie d' ensembles convexes compacts est compacte (et convexe).
  • Cela implique que dans toute TVS Hausdorff, l'enveloppe convexe d'une union finie d'ensembles convexes compacts est fermée (en plus d'être compacte et convexe); en particulier, l'enveloppe convexe d'une telle union est égale à l' enveloppe convexe fermée de cette union.
  • En général, l'enveloppe convexe fermée d'un ensemble compact n'est pas nécessairement compacte.
  • Dans tout TVS non Hausdorff, il existe des sous-ensembles compacts (et donc complets) mais non fermés.
• Le théorème bipolaire stipule que le bipolaire (c'est-à-dire la polaire de la polaire) d'un sous-ensemble d'un TVS de Hausdorff localement convexe est égal à l'enveloppe équilibrée convexe fermée de cet ensemble.
• L' enveloppe équilibrée d'un ensemble convexe n'est pas nécessairement convexe.
• Si C et D sont des sous-ensembles convexes d'un espace vectoriel topologique (TVS) X et si , alors il existe et un nombre réel r satisfaisant tel que${\displaystyle \operatorname {co} \left(C\cup D\right)}$${\style d'affichage c\en C,}$ ${\displaystyle d\in D,}$${\style d'affichage 0\leq r\leq 1}$${\style d'affichage x=rc+(1-r)d.}$
• Si M est un sous-espace vectoriel d'un TVS X , C un sous-ensemble convexe de M , et D un sous-ensemble convexe de X tel que , alors .${\displaystyle D\cap M\subseteq C}$${\displaystyle C=M\cap \operatorname {co} \left(C\cup D\right)}$
• Rappelons que le plus petit sous-ensemble équilibré de X contenant un ensemble S est appelé l' enveloppe équilibrée de S et est noté Pour tout sous-ensemble S de X , l' enveloppe équilibrée convexe de S , notée , est le plus petit sous-ensemble de X contenant S qui est convexe et équilibré. L'enveloppe équilibrée convexe de S est égale à l'enveloppe convexe de l'enveloppe équilibrée de S (ie ), mais l'enveloppe équilibrée convexe de S n'est pas nécessairement égale à l'enveloppe équilibrée de l'enveloppe convexe de S (ie n'est pas nécessairement égale à ).${\displaystyle \operatorname {bal} S.}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} \left(\operatorname {bal} S\right)}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$${\displaystyle \operatorname {bal} \left(\operatorname {co} S\right)}$
• Si A et B sont des sous-ensembles d'un TVS X et si r est un scalaire alors , , et De plus, si est compact alors${\displaystyle \operatorname {co} \left(A\cup B\right)=\operatorname {co} (A)\cup \operatorname {co} (B)}$${\displaystyle \operatorname {co} (rA)=r\operatorname {co} A}$${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(rA)=r{\overline {\operatorname {co} }}(A).}$${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A)}$${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A+B)={\overline {\operatorname {co} }}(A)+{\overline {\operatorname {co} }}(B)}$
• Si A et B sont des sous-ensembles d'un TVS X dont les enveloppes convexes fermées sont compactes, alors${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A\cup B)={\overline {\operatorname {co} }}\left({\overline {\operatorname {co} }}(A)\ tasse {\overline {\operatorname {co} }}(B)\right).}$
• Si S est un ensemble convexe dans un espace vectoriel complexe X et qu'il en existe tel que alors pour tout réel tel que En particulier, pour tout scalaire a tel que${\style d'affichage z\dans X}$${\style d'affichage z,iz,-z,-iz\in S,}$${\displaystyle rz+siz\in S}$${\style d'affichage r,s}$${\style d'affichage |r|+|s|\leq 1.}$${\displaystyle az\in S}$${\displaystyle |a|^{2}\leq {\frac {1}{2}}.}$

Exemples et non exemples

Topologie localement convexe la plus fine et la plus grossière

Topologie vectorielle la plus grossière

Tout espace vectoriel X doté de la topologie triviale (c'est-à-dire la topologie indiscrète) est un TVS localement convexe (et bien sûr, c'est la topologie la plus grossière). Cette topologie est Hausdorff si et seulement La topologie indiscrète transforme tout espace vectoriel en un TVS localement convexe pseudométrisable complet . ${\displaystyle X=\{0\}.}$

En revanche, la topologie discrète forme une topologie vectorielle sur X si et seulement Cela découle du fait que tout espace vectoriel topologique est un espace connexe . ${\displaystyle X=\{0\}.}$

Topologie localement convexe la plus fine

Si X est un espace vectoriel réel ou complexe et si est l'ensemble de toutes les semi-normes sur X alors la topologie TVS localement convexe, notée 𝜏 _lc , qui induit sur X est appelée la topologie localement convexe la plus fine sur X . Cette topologie peut également être décrite comme la topologie TVS sur X ayant comme base de voisinage en 0 l'ensemble de tous les disques absorbants dans X . Toute topologie TVS localement convexe sur X est nécessairement un sous-ensemble de 𝜏 _lc . ( X , _lc ) est Hausdorff . Toute application linéaire de ( X , _lc ) dans une autre TVS localement convexe est nécessairement continue. En particulier, toute fonctionnelle linéaire sur ( X , _lc ) est continue et tout sous-espace vectoriel de X est fermé dans ( X , _lc ) .; par conséquent, si X est de dimension infinie alors ( X , 𝜏 _lc ) n'est pas pseudométrisable (et donc non métrisable). De plus, τ _lc est le seul Hausdorff topologie localement convexe sur X avec la propriété que toute carte linéaire de celle - ci dans tout espace localement convexe séparé est continue. L'espace ( X , _𝜏lc ) est un espace bornologique . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Exemples d'espaces localement convexes

Chaque espace normé est un espace localement convexe de Hausdorff, et une grande partie de la théorie des espaces localement convexes généralise des parties de la théorie des espaces normés. La famille des semi-normes peut être considérée comme la norme unique. Tout espace de Banach est un espace de Hausdorff complet localement convexe, en particulier, les L ^p espaces avec p 1 sont localement convexes.

Plus généralement, tout espace de Fréchet est localement convexe. Un espace de Fréchet peut être défini comme un espace localement convexe complet avec une famille dénombrable séparée de semi-normes.

L'espace des suites à valeurs réelles avec la famille des semi-normes donnée par ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$

${\displaystyle p_{i}\left(\left\{x_{n}\right\}_{n}\right)=\left|x_{i}\right|,\qquad i\in \mathbf {N } }$

est localement convexe. La famille dénombrable des semi-normes est complète et séparable, c'est donc un espace de Fréchet, ce qui n'est pas normable. C'est aussi la topologie limite des espaces , enchâssée de manière naturelle, en complétant des suites finies avec une infinité de nombres . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$${\style d'affichage 0}$

Étant donné tout espace vectoriel X et une collection F de fonctionnelles linéaires dessus, X peut être transformé en un espace vectoriel topologique localement convexe en lui donnant la topologie la plus faible rendant toutes les fonctionnelles linéaires dans F continues. C'est ce qu'on appelle la topologie faible ou la topologie initiale déterminée par F . La collection F peut être le dual algébrique de X ou toute autre collection. La famille de semi-normes dans ce cas est donnée par pour tout f dans F . ${\style d'affichage p_{f}(x)=|f(x)|}$

Les espaces de fonctions dérivables donnent d'autres exemples non normables. Considérons l'espace des fonctions lisses telles que , où a et b sont des multi - indices . La famille de semi-normes définie par est séparée, dénombrable, et l'espace est complet, donc cet espace métrisable est un espace de Fréchet. Il est connu comme l' espace de Schwartz , ou l'espace des fonctions de décroissance rapide, et son espace dual est l'espace des distributions tempérées . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \sup _{x}\left|x^{a}D_{b}f\right|<\infty }$${\displaystyle p_{a,b}(f)=\sup _{x}\left|x^{a}D_{b}f(x)\right|}$

Un espace de fonction important dans l' analyse fonctionnelle est l' espace D ( U ) des fonctions lisses à support compact dans Une construction plus détaillée est nécessaire pour la topologie de cet espace car l'espace C${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}$^∞
₀( U ) n'est pas complet dans la norme uniforme. La topologie sur D ( U ) est définie comme suit: pour tout fixe compact K ⊂ U l'espace, des fonctions f ∈ C${\displaystyle C_{0}^{\infty }(K)}$^∞
₀( U ) avec supp(  f  ) ⊂ K est un espace de Fréchet à famille dénombrable de semi-normes || f || _m = sup _k≤m sup _x | D ^k f  ( x ) |    (ce sont en fait des normes, et la complétion de l'espace avec la norme ||  ⋅  || _m est un espace de Banach D ^m ( K ) ). Étant donné toute collection { K _λ } _λ d'ensembles compacts, dirigée par inclusion et telle que leur union égale U , le C${\displaystyle C_{0}^{\infty }(K)}$^∞
₀( K _λ ) forment un système direct , et D ( U ) est défini comme étant la limite de ce système. Une telle limite d'espaces de Fréchet est appelée espace LF . Plus concrètement, D ( U ) est l'union de tous les C^∞
₀( K _λ ) avec la topologie localement convexe la plus forte qui rend chaque application d' inclusion C^∞
₀( K _λ ) D ( U ) continu. Cet espace est localement convexe et complet. Cependant, il n'est pas métrisable, et ce n'est donc pas un espace de Fréchet. L'espace dual de est l'espace des distributions sur${\displaystyle D\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Plus abstraitement, étant donné un espace topologique X , l'espace des fonctions continues (pas nécessairement bornées) sur X peut être donné la topologie de convergence uniforme sur des ensembles compacts. Cette topologie est définie par des semi-normes φ _K (  f  ) = max{| f  ( x ) | : x ∈ K } (comme K varie sur l' ensemble dirigé de tous les sous-ensembles compacts de X ). Lorsque X est localement compact (par exemple un ouvert dans ) le théorème de Stone-Weierstrass s'applique - dans le cas des fonctions à valeur réelle, toute sous-algèbre de qui sépare des points et contient les fonctions constantes (par exemple, la sous-algèbre des polynômes) est dense . ${\style d'affichage C(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\style d'affichage C(X)}$

Exemples d'espaces sans convexité locale

De nombreux espaces vectoriels topologiques sont localement convexes. Voici des exemples d'espaces dépourvus de convexité locale :

• Les espaces L ^p ([0, 1]) pour sont équipés de la norme F${\style d'affichage 0<p<1}$
  $${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\int _{0}^{1}|f(x)|^{p}\,dx.}$$

  
  Ils ne sont pas localement convexes, puisque le seul voisinage convexe de zéro est tout l'espace. Plus généralement , l'espace L ^p ( μ ) avec un sans atome, mesure finie μ et ne sont pas localement convexe.${\style d'affichage 0<p<1}$
• L'espace des fonctions mesurables sur l' intervalle unitaire (où l'on identifie deux fonctions qui sont égales presque partout ) a une topologie vectorielle-espace définie par la métrique invariante à la translation : (qui induit la convergence en mesure des fonctions mesurables ; pour les variables aléatoires , la convergence en mesure est la convergence en probabilité )${\style d'affichage [0,1]}$
  $${\displaystyle d(f,g)=\int _{0}^{1}{\frac {|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)| }}\,dx.}$$

  
  Cet espace est souvent désigné ${\style d'affichage L_{0}.}$

Les deux exemples ont la propriété que toute application linéaire continue aux nombres réels est 0 . En particulier, leur espace dual est trivial, c'est-à-dire qu'il ne contient que la fonctionnelle zéro.

• L'espace de séquence ℓ ^p ( N ) , est pas localement convexe.${\style d'affichage 0<p<1}$

Cartographies continues

Parce que les espaces localement convexes sont des espaces topologiques ainsi que des espaces vectoriels, les fonctions naturelles à considérer entre deux espaces localement convexes sont des applications linéaires continues . En utilisant les semi-normes, un critère nécessaire et suffisant pour la continuité d'une application linéaire peut être donné qui ressemble étroitement à la condition de bornage plus familière trouvée pour les espaces de Banach.

Étant donnés des espaces localement convexes X et Y avec des familles de semi-normes { p _α } _α et { q _β } _β respectivement, une application linéaire est continue si et seulement si pour tout β , il existe α ₁ , α ₂ , …, α _n et M > 0 tel que pour tout v dans X${\style d'affichage T:X\à Y}$

${\displaystyle q_{\beta }(Tv)\leq M\left(p_{\alpha _{1}}(v)+\dotsb +p_{\alpha _{n}}(v)\right).}$

En d'autres termes, chaque semi-norme de l'intervalle de T est bornée ci-dessus par une somme finie de semi-normes dans le domaine . Si la famille { p _α } _α est une famille dirigée, et qu'elle peut toujours être choisie pour être dirigée comme expliqué ci-dessus, alors la formule devient encore plus simple et plus familière :

${\displaystyle q_{\beta }(Tv)\leq Mp_{\alpha }(v).}$

La classe de tous les espaces vectoriels topologiques localement convexes forme une catégorie avec des applications linéaires continues comme morphismes .

Fonctions linéaires

Si X est un espace vectoriel réel ou complexe, f est une fonctionnelle linéaire sur X , et p est une semi-norme sur X , alors si et seulement si Si f est une fonctionnelle linéaire non-0 sur un espace vectoriel réel X et si p est une semi-norme sur X , alors si et seulement si${\style d'affichage |f|\leq p}$${\displaystyle f\leq p.}$${\style d'affichage f\leq p}$${\displaystyle f^{-1}(1)\cap \left\{x\in X:p(x)<1\right\}=\varnothing .}$

Cartes multilinéaires

Soit un entier, des TVS (pas nécessairement localement convexes), soit Y une TVS localement convexe dont la topologie est déterminée par une famille de semi-normes continues, et soit un opérateur multilinéaire linéaire en chacune de ses n coordonnées. Les éléments suivants sont équivalents : ${\style d'affichage n\geq 1}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle M:\prod _{i=1}^{n}X_{i}\to Y}$

1. M est continu.
2. Pour tout , il existe des semi-normes continues sur respectivement, telles que pour tout${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},}$${\displaystyle q(M(x))\leq p_{1}\left(x_{1}\right)\cdots p_{n}\left(x_{n}\right)}$${\displaystyle x=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \prod _{i=1}^{n}X_{i}.}$
3. Pour tout , il existe un voisinage de 0 dans sur lequel est borné.${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}}$${\displaystyle q\circ M}$

Voir également

• Ensemble convexe  - En géométrie, ensemble qui coupe chaque ligne en un seul segment de ligne
• Théorème de Krein-Milman  - Sur quand un espace est égal à l'enveloppe convexe fermée de ses points extrêmes
• Forme linéaire  - Carte linéaire d'un espace vectoriel à son champ de scalaires
• Réseau vectoriel localement convexe
• Minkowski fonctionnel
• Semi-norme
• Fonctionnel sublinéaire
• Groupe topologique  - Groupe qui est un espace topologique avec une action de groupe continue
• Espace vectoriel topologique  – Espace vectoriel avec une notion de proximité
• Espace vectoriel  – Structure algébrique de base de l'algèbre linéaire

Remarques

Les références

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